Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

64 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
f(z) = ln(z)
z n
para todo n ≥ 0
23. Calcule
Solución:
Sabemos que
entonces
Sea f(z) = z 1/m , entonces
f ′ (z) = 1
m z(1/m) − 1
f ′′ (z) = 1 1 ( − 1)z(1/m)−2
m m
es analítica en el disco. Por lo tanto
γ
γ
ln(z)
= 0
zn z1/m 1
dz donde γ(t) = 1 +
(z − 1) m 2eit , 0 ≤ t ≤ 2π y m ∈ N.
f (n) (z0) = n!
2πi γ
f (n−1) (z0) =
f ′′′ (z) = 1 1 1 ( − 1)( m m m − 2)z(1/m)−3 ...
(m − 1)!
2πi
f(w)
dw
(w − z0) (n+1)
γ
f(w)
dw
(w − z0) m
f k (z) = 1 1 1
1
( − 1)( − 2)...( m m m m − (k − 1))z(1/m)−k Luego
γ
f (m−1) (w) = 1 1 1 1
( − 1)( − 2)...( − (m − 2))z(1/m)−(m−1)
m m m m
Por lo tanto
z1/m 2πi
dz =
(z − 1) m (m − 1)! f (m−1) (1) = 2πi 1 1 1 1
( −1)( −2)...(
(m − 1)! m m m m −(m−2))
24. De una expansión en serie de potencias de ln(z) en torno a z = i y halle
su radio de convergencia.
Solución:
1
(1 − z)
= z n
n≥0