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6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 63
21. Sea γ : [0, 1] → C una curva cerrada y suponga que z0 /∈ T raza(γ).
Demuestre que Indγ(z0) es un número entero. Ayuda: Defina g : [0, 1] → C por
g(t) =
t
0
γ ′ (s)
ds
γ(s) − z0
y demuestre que la función h(t) = e −g(t) (γ(t) − z0) es constante.
Solución:
Tenemos que
Consideremos g(t) = t
0
tiene:
Indγ(z0) = 1
2πi γ
dz
(z − z0)
1
1
=
2πi 0
γ ′ (t)
dt
γ(t) − z0
γ ′ (s)
(γ(s) − z0) ds; entonces si h(t) = e−g(t) (γ(t) − z − 0) se
h ′ (t) = −e −g(t) g ′ (t)(γ(t) − z0) + γ ′ (t)e −g(t)
= −e‘−g(t)
= 0
Por lo tanto h(t) es constante.
Por otro lado h(0) = h(1) pero
y
entonces
y asi
luego
Por lo tanto
22. Calcule
t ≤ 2π.
Solución:
γ
γ ′ (t)
(γ(t) − z0) (γ(t) − z0) + γ ′ (t)e −g(t)
h(0) = e −g(0) (γ(0) − z0) = (γ(0) − z0)
h(1) = e −g(1) (γ(1) − z0) = e −g(1) (γ(0) − z0)
e −g(1) (γ(0) − z0) = (γ(0) − z0)
e −g(1) = 1
g(1) = 2kπi
Indγ(z0) = 1
g(1) = k
2πi
ln(z)
1
dz para cada n ∈ N ∪ {0}, donde γ(t) = 1 +
zn 2eit , 0 ≤