Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

62 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
α = −1
|z|=1
z α =
19. Si |a| = R, demuestre que
Solución:
|z|=R
1
(α + 1) (e2πiα − 1)
|z|=R
|dz|
|z − a||z + a| <
2πR
|R 2 − |a| 2 | .
|dz|
|z − a||z + a| =
2π
Rdt
0 |γ(t) − a||γ(t) + a|
donde γ(t) = Re it con 0 < t < 2π y |dz| = |γ ′ (t)dt| = Rdt
Tenemos que
|γ(t) − a||γ(t) + a| = |Re it − a||Re it + a|
pero |z − a| ≥ ||z| − |a|| y |z + a| ≥ ||z| + |a||.
Así tenemos que
Entonces
2π
0
|γ(t) − a||γ(t) + a| = |γ(t) 2 − a 2 | ≥ ||γ(t)| 2 − |a| 2 |
Rdt
|γ(t) − a||γ(t) + a| ≤
2π
0
Rdt
|R 2 − |a| 2 | =
2πR
|R 2 − |a| 2 |
20. Sea z := reiθ ∈ C y γ un camino que une a 1 y z. Demuestre que
z
dw
1 w :=
dw
= ln(r) + iθ + 2kπi, donde k es un entero que indica cuan-
γ w
tas veces el camino de integración da vueltas alrededor del origen.
Solución:
γ(t) = (z − 1)t + 1 con 0 ≤ t ≤ 1 y γ ′ (t) = z − 1.
Entonces
1
0
γ ′ 1
(t)
(z − 1)
dt =
dt = ln(z) − ln(1) = ln(z) = ln(r) + iθ + 2kπi
γ(t) 0 ((z − 1)t + 1)