Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 61
Tenemos que γ(t) = eit y γ ′ (t) = ieit con |γ(t)| = 1. Entonces
π/2
π/2
γ
|z|dz =
−π/2
|γ(t)|γ ′ (t)dt =
−π/2
Donde γ(π/2) = e iπ/2 = i y γ(−π/2) = −i.
Así
|z|dz = i − (−i) = 2i
16. Evalue la integral
significa que el punto de partida es z = −1)
Solución:
Tenemos
γ
γ
γ ′ (t)dt = γ(π/2) − γ(−π/2)
dz
√ z dz donde γ es el circulo |z| = 1, y √ −1 = i (esto
2π
1
γ
√ dz =
z 0
′ π
(t)
dt = ie
γ(t) −π
it/2 dt = 2(e iπ/2 − e −iπ/2 ) = 4i
17. Evaluar la integral
Solución
Tenemos
π/2
−3π/2
18. Evaluar
γ
ln(γ(t))γ ′ (t)dt =
|z|=1
ln(z)dz donde γ es el circulo |z| = 1, y ln(i) = πi
2 .
π/2
−3π/2
z α dz donde α ∈ C y 1 α = 1.
itie it π/2
dt = − te
−3π/2
it = −2π
Solución:
|z| zα dz = 2π
0 (γ(t))α γ ′ (t)dt = 2π
0 ie iαt e it dt = i 2π
0 e(α+1)t dt.
Así si
α = −1
|z|=1
z α = 2πi