Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

60 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
(ii) a ∈ [0, 1)
∞ z
13. Considere la función f(z) =
n=1
n
n .
(i) Expanda f(z) en una serie de Taylor en torno a z = −1/2.
(ii) Determine el dominio en el cual la función f(z) es continuada analiticamente.
Solución:
(i) f(z) =
f(z) =
∞
n=1
∞
n=1
z n
n
= ln(1 − z)
an(z + 1/2) n con an = f n (−1/2)
n!
f ′ (z) = −1
1 − z = −(1 − z)−1 .
Así f (n) (z) = −(n − 1)!(1 − z) −n con n = 1, 2, ...
Por lo tanto f (n) (−1/2) = −(n − 1)!(3/2) −n con f (n) (−1/2)
n!
Entonces
∞
f(z) = ln(3/2) + ( 2 1
)n (z + 1/2)n
3 n
n=1
(ii) (R) −1 = lím sup n |an| = 2
3
. Por lo tanto R = 3 2
= ( 2 1
)n
3 n .
y |z + 1/2| < 3/2
∞ z
14. Sean f(z) =
n=1
n
∞
n (z − 2)n
y g(z) = iπ + (−1) . Observe que ambas
n n
n=1
series de potencia no tienen dominio de convergencia en común. Sin embargo:
(i) Demuestre que la función g(z) es continuación analitica de la función f(z).
Solución:
∞ z
f(z) =
n=0
n
∞
n (z − 2)n
y g(z) = cπ + (−1) .
n n
n=1
15. Evalue la integral |z|dz donde γ es el semicirculo |z| = 1, −π/2 ≤
γ
arg(z) ≤ π/2 y el punto de partida es z = i. (la orientación de la curva es siempre
positiva, esto es, en el sentido contrario a las manecillas del reloj).
Solución: