Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

Capítulo 2
Funciones de Variable Compleja
2.1. Funciones analíticas
Definición 3 Sea f : Ω → C una función definida en un abierto en el plano y
z0 ∈ Ω. Se dice que f(z) es derivable en z0 (u holomorfa o analítica) si existe el
límite:
f ′ f(z) − f(z0)
(z0) = lím
z→z0 z − z0
Observación 4 Una función f se dice analítica en un abierto Ω si es analítica
en cada punto de Ω.
Observación 5 Es fácil ver que si f es holomorfa en z0 entonces f es continua
en z0.
Ejemplo 6 1) f(z) = z. f es holomorfa en C y f ′ (z) = 1.
2) g(z) = z n , n entero positivo.
Calculamos el cuociente
g(z) − g(z0)
z − z0
= zn − z n o
z − z0
= z n−1 + z n−2 zo + ... + z n−1
o
Tomando el límite z → z0, obtenemos g ′ (z0) = nz n−1
o
3) Sea h(z) = z, Vamos a ver que no es derivable en z0 = 0. Queremos ver si
existe o no
z
lím
z→0 z
Si el límite existe, debe ser el mismo, no importa como nos aproximamos a 0.
t
Para z ∈ R, z = t, tenemos lím = 1.
t→0 t
−it
Para z imaginario, z = it, tenemos límt→0 = −1.
it
Por lo tanto h no es analítica en z = 0.
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