Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 59
Solución:
Tenemos que
e iz − e iz
2i
= i ez − e −z
2
Haciendo u = e (1+i)z = e z e iz entonces
De aquí
Caso 1: u = 1
e (1+i)z = 1 por lo tanto z = 2kπi
1 + i
⇔ e iz − e −iz = e −z − e z
⇔ e(1+i)z − 1
ez = 1 − e(1+i)z
e iz
⇔ e iz (e (1+i)z − 1) = e z (1 − e (1+z)z )
u − 1
e z
Caso 2: u = e i(π+2z) por lo tanto z =
12. Sea f(z) =
1 − u
=
eiz u = −e 2iz = e iπ+2iz = e i(π+2z)
−(2k + 1)π
i + 1
∞
z n y sea a ∈ C con |a| < 1 fijo.
n=0
(i) Halle la expansión de f(z) como una serie de Taylor en torno a z = a.
(ii) Encuentre todos los valores de a para los cuales la expansión en serie de
la parte (i) constituye una continuación analitica de f(z).
Solución:
(i) f(z) =
f(z) =
∞
∞
n=0
n=0
f ′ (z) = 1(1 − z) −2
z n = 1
1 − z
f ′′ (z) = 1 · 2(1 − z) −3
...
= (1 − z)−1
an(z − a) n con an = f (n) (a)
n!
f n (z) = n!(1 − z) −(n+1)
Por lo tanto f(z) =
∞
n=0
(z − a) n
(1 − a) n+1