Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

56 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
4. Halle una transformación de Möbius que deje fijos los puntos 1
2
lleve el punto 5
4
Solución:
3
+ i en ∞.
4
w =
z(1 − 4i) − 2(1 − i)
2z(1 − i) − (4 − i) .
y 2, y que
z
5. Encuentre la expansión de la función f(z) =
2
como una serie de
(z + 1) 2
Taylor en torno a z = 0 y halle el radio de convergencia.
Solución:
Sea g(z) = z
z + 1 entonces g′ 1
(z) =
Recordemos ahora que para |z| < 1 tenemos
1
1 + z =
∞
Entonces
y luego
z
z + 1 =
(1 + z) 2 y así z2 g ′ (z) =
n=0
∞
n=0
g ′ z
(z) = (
z + 1 )′ =
(−1) n z n .
(−1) n z n+1
∞
n=0
(−1) n (n + 1)z n .
z2 .
(z + 1) 2
De esta manera obtenemos, para |z| < 1 la expresión
∞
(−1) n (n + 1)z n+2 ∞
= (−1)(m − 1)z m .
z2 =
(1 + z) 2
n=0
z − z1
6. Sea w = . Demuestre que la preimagen de la familia | w |= λ es una
z − z2
familia de circulos para cada λ = 1.
Solución:
Ya que ww = λ 2 , reemplazando tenemos que
m=2
( z − z1 z − z1
)( ) = λ
z − z2 z − z2
2 ⇔ (z − z1)(z − z1) = λ2 (z − z2)(z − z2)
⇔ zz − zz1 − z1z + z1z1 = λ 2 (zz − zz2 − z2z + z2z2)
⇔ (1 − λ 2 )zz + z(λ 2 z2 − z1) + z(λ 2 z2 − z1) + |z1| 2 − λ 2 |z2| 2 = 0