Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 55
Solución:
Sea f(x) = |xy| = u(x, y) + iv(x, y), donde u(x, y) = |xy| y v(x, y) = 0.
Tenemos
∂u
u(h, 0) − u(0, 0)
(0, 0) = límh→0
∂x h
∂u
u(0, h) − u(0, 0)
(0, 0) = límh→0
∂y h
= 0 = ∂v
(0, 0)
∂y
= 0 = −∂v
(0, 0).
∂x
Para ver que f ′ (0) no existe observamos que:
f ′ (0) =
f(z) − f(0) |xy| |xy|z
límz→0
= lím = lím
z − 0 z→0 z z→0 |z| 2
=
|xy|(x − iy)
límz→0
x2 + y2 = lím
(x,y)→(0,0) (x |xy|
x2 + y2 − iy |xy|
x2 )
+ y2 Si y = 0, el límite es cero, esto es f ′ (0) = 0.
Si x = y > 0, obtenemos
Luego f ′ (0) no existe.
x |x 2 |
2x 2
− ix |x| 2
2x 2
x2 ix2 1
= − =
2x2 2x2 2
− i
2 .
3. Existe una función analitica f = u + iv tal que u(x, y) = e y/x ?. Justifique.
Solución:
No, pues de lo contrario debe ser armónica, pero:
y
Por otro lado
y
Así vemos que
∂u
∂x
∂
= ey/x
∂x (y
−y
) = ey/x
x x2 ∂2u 2y
=
∂x2 x3 ey/x + y2
x4 ey/x .
∂u
∂y
= 1
x ey/x
∂2u 1
=
∂y2 x2 ey/x .
∂2u ∂x2 + ∂2u = 0.
∂y2