Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

Capítulo 6
Ejercicios
6.1. Ejercicios resueltos
1. Demuestre que Arctan(z) = i + z 1 + iz
ln(i ) = ln(1
2 i − z 2i 1 − iz ).
Solución:
Sea w = arctan(z) entonces
Así, tenemos
Note que:
tan(w) = z ⇔ sin(w)
cos(w)
= z.
e iw − e −iw = i(e iw + e −iw )z
⇔ e 2iw − 1 = ie2iwz + iz
⇔ e 2iw 1 + iz
=
1 − iz
⇔ w = 1 + iz
ln(1
2i 1 − iz )
1 + iz
1 − iz
= i − z
i + z .
Entonces
i + z + iz + z + iz
0 = ln(( )(1 )) = ln(i ) + ln(1
i − z 1 − iz i − z 1 − iz ).
Multiplicando por 1
obtenemos finalmente
2i
1
2i
+ iz −1
ln(1 ) =
1 − iz 2i
+ z i + z
ln(i ) = ln(i
i − z 2 i − z ).
2. Sea f(z) = |xy| (z = x + iy). Demuestre que valen las ecuaciones de
Cauchy Riemann en z = 0 pero que f ′ (0) no existe. Justifique.
54