Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

More documents

Recommendations

Info

52 CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS El resultado siguente dice que toda función bianalítica de D en D tal que f(a) = 0, tiene la forma anterior. Teorema 86 Sea f : D → D analítica y biyectiva tal que f(a) = 0, entonces existe c ∈ C tal que |c| = 1 y z − a f(z) = c 1 − az Demostración. Note que g = f ◦ φ−a , g(0) = 0 y g(D) = D. Por lema de Schwarz |g ′ (0)| ≤ 1. Ahora entonces ya que Por lo tanto g ′ (z) = f ′ (φ−a(z))φ ′ −a(z) g ′ (0) = f ′ (φ−a(0))φ−a(0) = f ′ (a)(1 − |a| 2 ) φ ′ −a(z) = (1 + az) − a(z − a) (1 + az) 2 |f ′ (a)| ≤ 1 1 − |a| 2 Análogamente, h = φa ◦ f −1 , con h(0) = 0 y h(D) ⊆ D. Luego |h ′ (0)| ≤ 1. Calculamos entonces Notemos que φ ′ a(z) = 1 = 1 − |a|2 h ′ (z) = φ ′ a(f −1 (z))(f −1 ) ′ (z) (1 + az) 2 h ′ (0) = φ ′ a(f −1 (0))(f −1 ) ′ (0) = φ ′ a(a)(f −1 ) ′ (0) 1 − |a|2 (1 − az) 2 , por lo tanto φ′ a(a) = 1 − |a|2 (1 − |a| 2 = ) 2 1 , 1 − |a| 2 entonces | (1 − |a| 2 ) (f −1 ) ′ (0)| ≤ 1 y así |(f −1 ) ′ (0)| ≤ 1 − |a| 2 . Ahora f −1 (f(z)) = z, entonces (f −1 ) ′ (f(z))f ′ (z) = 1 y (f −1 ) ′ (f(a))f ′ (a) = 1, así entonces 1 1 − |a| 2 ≥ |f ′ (a)| = | Con lo anterior podemos ver que |f ′ (a)| = 1 (f −1 ) ′ (0) 1 1 − |a| 2 |g ′ (0)| = |f ′ (a)(1 − |a| 2 )| = | ≥ 1 1 − |a| 2 1 − |a|2 = 1 1 − |a| 2
5.6. AUTOMORFISMOS DEL DISCO UNITARIO 53 Por lema de Schwarz g(z) = cz con |c| = 1, entonces con |c| = 1 y así f ◦ φ−a(z) = cz f(z) = cφa(z)
Page 1 and 2: Apuntes de Variable Compleja Dr. Ca
Page 3 and 4: Índice general 1. Preliminares 4 1
Page 5 and 6: 1.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 5 1.2.
Page 7 and 8: 2.1. FUNCIONES ANALÍTICAS 7 Ejerci
Page 9 and 10: 2.1. FUNCIONES ANALÍTICAS 9 en que
Page 11 and 12: 2.1. FUNCIONES ANALÍTICAS 11 ⇔ f
Page 13 and 14: 2.2. ALGUNAS FUNCIONES DE VARIABLE
Page 15 and 16: Capítulo 3 Series 3.1. Series de T
Page 17 and 18: 3.1. SERIES DE TAYLOR 17 z n
Page 19 and 20: 3.2. REPRESENTACIONES POR SERIES DE
Page 21 and 22: 3.4. EXTENSIÓN ANALÍTICA 21 ln(1
Page 23 and 24: 3.6. TRANSFORMACIONES CONFORMES 23
Page 25 and 26: 4.2. FORMULA DE CAUCHY 25 Proposici
Page 27 and 28: 4.3. TEORÍA DE INDICE Y HOMOTOPÍA
Page 29 and 30: 4.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES 29 por
Page 31 and 32: 4.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES 31 lueg
Page 33 and 34: 4.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES 33 Teor
Page 35 and 36: 5.1. DESARROLLO EN SERIE DE LAURENT
Page 37 and 38: 5.2. RESIDUOS 37 Entonces f(z) = w0
Page 39 and 40: 5.2. RESIDUOS 39 Así Luego Por lo
Page 41 and 42: 5.2. RESIDUOS 41 luego así C 1 5
Page 43 and 44: 5.3. CÁLCULO DE INTEGRALES 43 esto
Page 45 and 46: 5.4. FÓRMULA DE POISSON 45 Luego
Page 47 and 48: 5.4. FÓRMULA DE POISSON 47 donde s
Page 49 and 50: 5.5. FÓRMULA DE JENSEN 49 es una T
Page 51: 5.6. AUTOMORFISMOS DEL DISCO UNITAR
Page 55 and 56: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 55 Soluci
Page 57 and 58: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 57 Por lo
Page 61 and 62: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 61 Tenemo
Page 63 and 64: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 63 21. Se
Page 65 and 66: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 65 si |z|
Page 67 and 68: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 67 29. Ev
Page 69 and 70: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 69 Entonc
Page 71 and 72: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 71 Sea f(
Page 75 and 76: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 75 Ahora
Page 77 and 78: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 77 Vemos
Page 79 and 80: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 79 51. Ca
Page 83 and 84: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 83 i) n
Page 85 and 86: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 85 62. Se
Page 87 and 88: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 87 i) γ(
Page 89 and 90: 6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 89 69. S
Page 93 and 94: 6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 93 36. A
Page 95 and 96: 6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 95 para

Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?