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52 CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS
El resultado siguente dice que toda función bianalítica de D en D tal que f(a) = 0,
tiene la forma anterior.
Teorema 86 Sea f : D → D analítica y biyectiva tal que f(a) = 0, entonces
existe c ∈ C tal que |c| = 1 y
z − a
f(z) = c
1 − az
Demostración.
Note que g = f ◦ φ−a , g(0) = 0 y g(D) = D.
Por lema de Schwarz |g ′ (0)| ≤ 1.
Ahora
entonces
ya que
Por lo tanto
g ′ (z) = f ′ (φ−a(z))φ ′ −a(z)
g ′ (0) = f ′ (φ−a(0))φ−a(0) = f ′ (a)(1 − |a| 2 )
φ ′ −a(z) =
(1 + az) − a(z − a)
(1 + az) 2
|f ′ (a)| ≤
1
1 − |a| 2
Análogamente, h = φa ◦ f −1 , con h(0) = 0 y h(D) ⊆ D.
Luego |h ′ (0)| ≤ 1.
Calculamos
entonces
Notemos que φ ′ a(z) =
1
= 1 − |a|2
h ′ (z) = φ ′ a(f −1 (z))(f −1 ) ′ (z)
(1 + az) 2
h ′ (0) = φ ′ a(f −1 (0))(f −1 ) ′ (0) = φ ′ a(a)(f −1 ) ′ (0)
1 − |a|2
(1 − az) 2 , por lo tanto φ′ a(a) =
1 − |a|2
(1 − |a| 2 =
) 2
1
,
1 − |a| 2
entonces |
(1 − |a| 2 ) (f −1 ) ′ (0)| ≤ 1 y así |(f −1 ) ′ (0)| ≤ 1 − |a| 2 .
Ahora f −1 (f(z)) = z, entonces (f −1 ) ′ (f(z))f ′ (z) = 1 y (f −1 ) ′ (f(a))f ′ (a) = 1,
así
entonces
1
1 − |a| 2 ≥ |f ′ (a)| = |
Con lo anterior podemos ver que
|f ′ (a)| =
1
(f −1 ) ′ (0)
1
1 − |a| 2
|g ′ (0)| = |f ′ (a)(1 − |a| 2 )| =
| ≥
1
1 − |a| 2
1 − |a|2
= 1
1 − |a| 2