Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

5.6. AUTOMORFISMOS DEL DISCO UNITARIO 51
ii) Supongamos ahora que |f(z0)| = |z0| para algún z0 = 0 y z0 ∈ D, entonces
|g(z0)| = 1 con |z0| < 1.
Pero |g(z)| ≤ 1 para todo z ∈ D. Luego el máximo se alcanza en z0 que está en
el interior de D. Por el principio del máximo, debe ser g(z) constante, digamos
g(z) = a con a ∈ C, entonces f(z) = az con a ∈ C. Pero |z0| = |f(z0)| = |a||z0|.
Así |a| = 1.
Por otra parte, supongamos que |f ′ (0)| = 1. Entonces como g(z) = f(z)
z
f ′ (0) + f ′′ (0)z + ..., tenemos que
|g(0)| = |f ′ (0)| = 1
Así, ya que |g(z)| ≤ 1 para todo z ∈ D concluímos otra vez que el máximo se
alcanza en 0 que está en el interior de D. Igual que antes llegamos a la conclusión.
El resultado anterior dice que si f : D → D es analítica tal que f(0) = 0,
entonces f(z) = az con |a| < 1.
Por ejemplo f(z) = z
2 .
Se puede generalizar el resultado anterior para f : D → D tal que f(a) = 0.
z − a
Um ejemplo de tal función es el siguiente f(z) = con |a| < 1.
1 − az
En efecto, es claro que f(a) = 0. Veamos que f(D) ⊆ D. Para esto basta ver
que
f({z ∈ C : |z| = 1}) ⊆ {z ∈ C : |z| = 1}
Veamos, sea z tal que |z| = 1, entonces zz = 1 o z = 1
z
entonces
|z − a| = | 1
z
Esto prueba la afirmación.
de donde
− a| = |1 (1 − za)| = |z(1 − za)| = |z||1 − az|
z
z − a |z − a|
|f(z)| = | | =
1 − az |1 − az|
= |z| = 1
Note además que f es invertible (1-1) ya que, de hecho
f −1 (w) =
w + a
1 + aw
y es evidente que es prácticamente igual a f, exvcepto que a es cambiado por −a
de modo que f −1 (D) ⊆ D. Así D ⊆ D y luego f(D) = D, esto es f es además
sobreyectiva.
Observación 85 Si denotamos φa(z) =
z − a
, vemos que φ−1 a = φ−a
1 − az
=