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50 CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS
Sean a1, a2, ...an los ceros de f en D, repetidos de acuerdo a su multiplicidad.
Entonces
n
ln |f(0)| = ln |aj| + 1
2π
ln |f(e
2π
it )|dt
j=1
En efecto, en este caso, r = 0, luego
Pr(x) =
0
1 − r2
|1 − re ix | 2
entonces P0(x) = 1, de donde sale el resultado usando el teorema anterior.
Observación 83 Las fórmulas anteriores son importantes en la teoría de funciones
enteras (f analítica en C)
5.6. Automorfismos del disco unitario
Denotemos D = {z ∈ C : |z| < 1}
Lema 84 Sea f : D → D analítica tal que f(0) = 0.
Entonces
i) |f(z)| ≤ |z| para todo z ∈ D y |f ′ (0)| ≤ 1
ii)|f ′ (0)| = 1, entonces f(z) = az, donde |a| = 1
Demostración.
i) Por la hipótesis
para z ∈ D.
f(z) = f(0) + f ′ (0)z + f ′′ (0)z 2 + ...
= f ′ (0)z + f ′′ (0)z 2
Entonces g(z) = f(z)
z = f ′ (0) + f ′′ (0)z + ... es analítica en D.
Sea z ∈ D tal que |z| = r < 1, entonces en {z : |z| < r} se tiene de acuerdo
al principio del máximo para g
| f(z)
z
| ≤ Sup|w|=r| f(w)
w
1
| ≤ Sup|w|=r
|w|
= 1
r
Haciendo ahora r → 1− se obtiene |f(z)| ≤ |z| para todo z ∈ D.
Por otra parte, si g(z) = f(z)
z = f ′ (0) + f ′′ (0)z + ..., es claro que
|f ′ (0)| = lím |
z→0 f(z)
| ≤ 1
z