Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...
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Capítulo 1 Preliminares 1.1. Introducción La primera noción de un número complejo fue descubierta en conexión con resolver ecuaciones cuadráticas. Consideremos, por ejemplo, la ecuación z 2 + 1. Obviamente, esta no tiene soluciones reales, ya que para cualquier real x, x 2 ≥ 0 y x 2 + 1 > 0. La idea es escribir, formalmente, z = ± √ −1; pero no existe número real cuyo cuadrado de −1. Luego, si ecuación tiene una solución, debe ser en un sistema de números mayor que el conjunto de los números reales. Este fue el problema planteado a matemáticos por alrededor de 700 años: Extender los reales a un sistema mayor de números en el cual la ecuación z 2 + 1 puede tener una solución. C. Gauss (1780-1840) fue el primer matemático en usar sistemáticamente números complejos. La serie Hipergeométrica 1 + ab a(a + 1)b(b + 1) x + c c(c + 1) · 1 · 2 x2 + ... Se comprende mejor al analizar los complejos | x |< 1. (Note que si b = c y a = 1 se obtiene la serie geométrica). Gauss Demostró: ”Toda ecuación anz n + an−1z n−1 + ... + a0 = 0 tiene n-soluciones en C”. A. L. Cauchy dió la estructura central al desarrollo de variable compleja a través de la idea de la integral de línea: f(z)dz, la cual da sentido a la fórmula integral de Cauchy: f(z) = 1 2πi γ γ 4 f(ζ) ζ − z dζ
1.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 5 1.2. Propiedades algebraicas Un número complejo es una expresión de la forma z = a + bi, con a y b números reales e i 2 = −1. Denotamos el conjunto de los números complejos por C. Bajo la suma y producto, C es un cuerpo conmutativo. Como i 2 = −1, la ecuación z 2 + 1 tiene al menos una raíz en C, En efecto: z 2 + 1 = (z + i)(z − i) Más generalmente: z 2 + w 2 = (z + iw)(z − iw) Si z = a ∈ R, entonces (para a = 0, b = 0) 1 a − ib = a + ib a2 , + b2 con lo cual se tiene una fórmula para el recíproco de un número complejo. Notación 1 z = a − ib es el conjugado de z = a + ib | z |= (a 2 + b 2 ) 1 2 es el valor absoluto de z. Con las notaciones anteriores, tenemos: Propiedades básicas son: Re(z) = 1(z + z) 2 1 z = z | z | 2 Im(z) = 1 (z − z) 2i Note además que Re(z) ≤| z | y Im(z) ≤| z | Proposición 2 (Desigualdad Triangular) Demostración. , si z = 0 | z + w |≤| z | + | w | | z + w | 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + zw + wz + ww = | z | 2 +2Re(zw)+ | w | 2 ≤ | z | 2 +2 | zw | + | w | 2 = | z | 2 +2 | z || w | + | w | 2 = (| z | + | w |) 2
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1.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 5<br />
1.2. Propieda<strong>de</strong>s algebraicas<br />
Un número complejo es una expresión <strong>de</strong> la forma z = a + bi, con a y b números<br />
reales e i 2 = −1. Denotamos el conjunto <strong>de</strong> los números complejos por C. Bajo<br />
la suma y producto, C es un cuerpo conmutativo.<br />
Como i 2 = −1, la ecuación z 2 + 1 tiene al menos una raíz en C, En efecto:<br />
z 2 + 1 = (z + i)(z − i)<br />
Más generalmente:<br />
z 2 + w 2 = (z + iw)(z − iw)<br />
Si z = a ∈ R, entonces (para a = 0, b = 0)<br />
1 a − ib<br />
=<br />
a + ib a2 ,<br />
+ b2 con lo cual se tiene una fórmula para el recíproco <strong>de</strong> un número complejo.<br />
Notación 1<br />
z = a − ib es el conjugado <strong>de</strong> z = a + ib<br />
| z |= (a 2 + b 2 ) 1<br />
2 es el valor absoluto <strong>de</strong> z.<br />
Con las notaciones anteriores, tenemos:<br />
Propieda<strong>de</strong>s básicas son:<br />
Re(z) = 1(z<br />
+ z)<br />
2<br />
1<br />
z<br />
= z<br />
| z | 2<br />
Im(z) = 1 (z − z)<br />
2i<br />
Note a<strong>de</strong>más que Re(z) ≤| z | y Im(z) ≤| z |<br />
Proposición 2 (Desigualdad Triangular)<br />
Demostración.<br />
, si z = 0<br />
| z + w |≤| z | + | w |<br />
| z + w | 2 = (z + w)(z + w)<br />
= (z + w)(z + w)<br />
= zz + zw + wz + ww<br />
= | z | 2 +2Re(zw)+ | w | 2<br />
≤ | z | 2 +2 | zw | + | w | 2<br />
= | z | 2 +2 | z || w | + | w | 2<br />
= (| z | + | w |) 2
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