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48 CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS En efecto, notemos que Pr(x) ≤ Pr(δ) si |x| ≥ δ y pi ≤ x ≤ π. Así I2 ≤ Pr(δ) 2π Sea M = max−π≤x≤π|g(e i(θ+x) )|, entonces Si hacemos r → 1− lím r→1− Esto prueba la afirmación. π |g(e −pi i(θ+x) ) − g(e iθ )|dx I2 ≤ 2MPr(δ) 1 − r2 = 1 − 2r cos(δ) + r2 5.5. Fórmula de Jensen Sea f analítica en Ω tal que D(0, 1) ⊆ Ω. 0 2 − 2 cos(δ) Supomga que f tiene un logaritmo en Ω, esto es log f(z) es analítica en Ω, entonces aplicando la fórmula integral de Poisson a Re(log f(z)) = log(|f(z)|), obtenemos con z = e iθ y 0 ≤ r < 1. log |f(z)| = 1 2π 2π 0 = 0 Pr(θ − t) ln |f(e it )|dt Ahora, si f tiene ceros en D, logf(z) puede no ser analítica. Sin embargo, se puede modificar la fórmula anterior para tomar en cuenta los ceros de f. Esta es la llamada fórmula de Jensen-Poisson. Teorema 81 (Fórmula de Jensen-Poisson) Sea f analítica en D y suponga que f(z) = 0 en ∂D. Sean a1, a2, ...an los ceros de f en D. Entonces log |f(z)| = n 2π z − aj 1 log | | + Pr(θ − t)log|f(e 1 − ajz 2π 0 it )|dt j=1 Demostración. Sea g(z) = f(z) n j=1 1 − ajz z − aj Recordemos que para cada ai con |ai| < 1 φai (z) = z − ai 1 − aiz para |z| < R y R < 1
5.5. FÓRMULA DE JENSEN 49 es una Transformación de Mobius que lleva D en D Y ∂D en ∂D. Entonces y φai (1 1 − aiz ) = z z − ai φai (1 ) = 1 z Haciendo el desarrollo en serie de Taylor con ck = 0. Entonces es analítica en z = ai. f(z) = ak(z − ai) k + ... f(z) (z − ai) k = ck + ck+1(z − ai) + ... Por lo tanto g(z) es analítica en D(0, R) y no tiene ceros allí. Admás |g(e it )| = |f(e it )|, y Luego de lo anterior tenemos que luego tenemos ln |f(z)| + ln(| ln |f(z)| = ln |g(z)| = 1 2π Pr(θ − t) ln |g(e 2π 0 it )|dt = n ( 1 − ajz )|) = z − aj 1 2π Pr(θ − t) ln |g(e 2π 0 it )|dt j=1 n | z − aj 2π 1 | + Pr(θ − t) ln |g(e 1 − ajz 2π 0 it )|dt j=1 n j=1 2π |z − aj| 1 + Pr(θ − t) ln |f(e |1 − ajz| 2π 0 it )|dt El caso particular en que z = 0, se conoce como fórmula de Jensen. Teorema 82 (Fórmula de Jensen) Sea f analítica en D y suponga que f(0) = 0 y f(z) = 0 en ∂D.
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5.5. FÓRMULA DE JENSEN 49<br />
es una Transformación <strong>de</strong> Mobius que lleva D en D Y ∂D en ∂D. Entonces<br />
y<br />
φai (1<br />
1 − aiz<br />
) =<br />
z z − ai<br />
φai (1 ) = 1<br />
z<br />
Haciendo el <strong>de</strong>sarrollo en serie <strong>de</strong> Taylor<br />
con ck = 0.<br />
Entonces<br />
es analítica en z = ai.<br />
f(z) = ak(z − ai) k + ...<br />
f(z)<br />
(z − ai) k = ck + ck+1(z − ai) + ...<br />
Por lo tanto g(z) es analítica en D(0, R) y no tiene ceros allí.<br />
Admás |g(e it )| = |f(e it )|, y<br />
Luego <strong>de</strong> lo anterior tenemos que<br />
luego tenemos<br />
ln |f(z)| + ln(|<br />
ln |f(z)| =<br />
ln |g(z)| = 1<br />
2π<br />
Pr(θ − t) ln |g(e<br />
2π 0<br />
it )|dt<br />
=<br />
n<br />
( 1 − ajz<br />
)|) =<br />
z − aj<br />
1<br />
2π<br />
Pr(θ − t) ln |g(e<br />
2π 0<br />
it )|dt<br />
j=1<br />
n<br />
| z − aj<br />
2π<br />
1<br />
| + Pr(θ − t) ln |g(e<br />
1 − ajz 2π 0<br />
it )|dt<br />
j=1<br />
n<br />
j=1<br />
2π<br />
|z − aj| 1<br />
+ Pr(θ − t) ln |f(e<br />
|1 − ajz| 2π 0<br />
it )|dt<br />
El caso particular en que z = 0, se conoce como fórmula <strong>de</strong> Jensen.<br />
Teorema 82 (Fórmula <strong>de</strong> Jensen) Sea f analítica en D y suponga que f(0) = 0<br />
y f(z) = 0 en ∂D.
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