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48 CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS
En efecto, notemos que Pr(x) ≤ Pr(δ) si |x| ≥ δ y pi ≤ x ≤ π.
Así
I2 ≤ Pr(δ)
2π
Sea M = max−π≤x≤π|g(e i(θ+x) )|, entonces
Si hacemos r → 1−
lím
r→1−
Esto prueba la afirmación.
π
|g(e
−pi
i(θ+x) ) − g(e iθ )|dx
I2 ≤ 2MPr(δ)
1 − r2 =
1 − 2r cos(δ) + r2 5.5. Fórmula de Jensen
Sea f analítica en Ω tal que D(0, 1) ⊆ Ω.
0
2 − 2 cos(δ)
Supomga que f tiene un logaritmo en Ω, esto es log f(z) es analítica en Ω, entonces
aplicando la fórmula integral de Poisson a Re(log f(z)) = log(|f(z)|), obtenemos
con z = e iθ y 0 ≤ r < 1.
log |f(z)| = 1
2π
2π
0
= 0
Pr(θ − t) ln |f(e it )|dt
Ahora, si f tiene ceros en D, logf(z) puede no ser analítica. Sin embargo, se
puede modificar la fórmula anterior para tomar en cuenta los ceros de f. Esta es
la llamada fórmula de Jensen-Poisson.
Teorema 81 (Fórmula de Jensen-Poisson) Sea f analítica en D y suponga que
f(z) = 0 en ∂D.
Sean a1, a2, ...an los ceros de f en D.
Entonces
log |f(z)| =
n
2π
z − aj 1
log | | + Pr(θ − t)log|f(e
1 − ajz 2π 0
it )|dt
j=1
Demostración. Sea g(z) = f(z)
n
j=1
1 − ajz
z − aj
Recordemos que para cada ai con |ai| < 1
φai (z) = z − ai
1 − aiz
para |z| < R y R < 1