Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

5.4. FÓRMULA DE POISSON 47
donde si z = re iθ , entonces tendríamos
Re( eit + z
eit 1 − |z|2
) =
− z |1 − ze−it =
| 2
1 − r 2
|1 − re i(θ−t) | 2 = Pr(θ − t)
Esto prueba que Ref(z) = u(z) con z = re iθ , luego ∆u = 0.
Veamos ahora que u(e iθ ) = g(e iθ ) (se satisface la condición de borde).
Sea 0 < r < 1, entonces veremos que
con θ ∈ [0, 2π].
En efecto
lím
r→−1 u(reiθ ) = g(e iθ )
|u(reiθ ) − g(eiθ )| = | 1
2π
Pr(θ − t)g(e
2π 0
it )dt − g(e iθ )|
= | 1
2π
Pr(θ − t)(g(e
2π 0
it ) − g(e iθ ))dt|
= | 1
2π−θ
Pr(x)(g(e
2π −θ
i(θ+x) ) − g(e iθ ))dx|
= | 1
2π
π
Pr(x)(g(e
−π
i(θ+x) ) − g(e iθ ))dx|
π
Pr(x)|g(e
−π
i(θ+x) ) − g(e iθ )|dx
≤ 1
2π
= 1
δ
Pr(x)|g(e
2π −δ
i(θ+x) ) − g(e iθ )|dx
+ 1
2π
= I1 + I2
Pr(x)|g(e
|x|≥δ
i(θ+x) ) − g(e iθ )|dx
donde, dado ɛ < 0 se elige δ > 0 tal que |g(e i(θ+x) ) − g(e iθ )| < ɛ para cada θ. Si
|x| < δ (por continuidad de la función g dada la hipótesis), luego
Además notemos que
I2 ≤ Pr(δ)
2π
I1 ≤ ɛ
2π
δ
−δ
Pr(x)dx ≤ ɛ
|g(e
|x|≥δ
i(θ+x) ) − g(e iθ )|dx