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46 CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS
La fórmula anterior expresa que el valor de una función analítica en un punto
interior de un disco es igual al promedio ponderado (por un peso) de un valor en
el borde. El peso en cuestion es el núcleo de Poisson.
Tomando f(z) = 1 para todo z obtenemos lo siguiente
Corolario 80
2π
1
Pr(t − θ)dt = 1
2π 0
Una aplicación de la fórmula de Poisson es que podemos resolver el problema
siguente
Problema de Dirichlet:
Resolver
∆u(x, y) = 0
en x 2 + y 2 < 1, con condiciones de borde dadas por
para x 2 + y 2 = 1, donde g es continua.
u(x, y) = g(x, y)
La respuesta a este problema es (en coordenadas polares)
con 0 ≤ r < 1.
u(re iθ ) = 1
2π
2π
0
Pr(θ − t)g(e it )dt
Demostración. Primero veremos que u es la parte real de una función analítica.
Luego, ∆u = 0 según sabemos.
En efecto, sea
donde γ(t) = e it .
f(z) = 1
2π
2π
= 1
2πi
= 1
2πi
= 1
2πi
0
γ
γ
γ
e it + z
e it − z g(eit )dt
w + z
w − z g(w)dw
Luego f(z) es analítica en |z| < 1, además
Ref(z) = 1
2π
( w 1
−
w − z w )g(w)dw
2g(w) 1
dw −
w − z 2πi
2π
0
γ
g(w)
w dw
Re( eit + z
e it − z )g(eit )dt