Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

42 CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS
Observación 77 Ya que
Entonces
Así
Indγ(z) = 1
2πi γ
Indγ(0) = 1
2πi γ
1
w − z dw
b
1 1 γ
dw =
w 2πi a
′ (t)
γ(t) dt
Indf◦γ(0) = 1
b
(f ◦ γ)
2πi a
′ (t)
= 1
b
2πi a
= 1
2πi
γ
(f ◦ γ)(t) dt
f ′ (γ(t))γ ′ (t)
dt
f(γ(t))
f ′ (z)
dz = Vγ(t)
f(z)
Y se llama el número de vueltas o número de rotación de f alrededor de γ.
Por lo tanto, el Principio del Argumento dice que
En particular, si f es analítica
Ind(f◦γ)(0) = n − m
Ind(f◦γ)(0) = n
Así, el Principio del Argumento dice que cunado la componente encerrada por
γ está enteramente contenida en el dominio de analiticidad de f, el número de
vueltas que da f alrededor de γ coincide con el número total de ceros que pesee
f en esta componente, contando cada uno de ellos tantas veces como indique su
orden.
Teorema 78 (de Rouché) Sea C el borde de un dominio Ω y sean f y g analíticas
en Ω tales que |f(z)| < |g(z)| para z ∈ C. Entonces f(z) + g(z) y g(z) tienen el
mismo número de ceros en Ω
Demostración. Tenemos en C
Entonces
C
| f
| < 1
g
( f
g )′
1 + f
g
= 0
pues la imagen de C bajo 1 + f
(z) está en el disco D(1, 1) .Luego
g
f
C
′ g − fg ′
(1 + f = 0
)g2 g