Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...
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5.2. RESIDUOS 41<br />
luego<br />
así <br />
C<br />
1 5 − 2z<br />
f(1 ) =<br />
z2 z z(1 − z)<br />
5z − 2<br />
dz = 2πi(5) = 10πi<br />
z(z − 1)<br />
Teorema 76 (Principio <strong>de</strong>l Argumento) Sea f meromorfa en el interior <strong>de</strong> γ.<br />
Sea a1, a2, ...an los ceros <strong>de</strong> f y b1, b2, ...bn los polos <strong>de</strong> f.<br />
Entonces<br />
<br />
1<br />
2πi γ<br />
F (z) f ′ (z)<br />
dz =<br />
f(z)<br />
Para cada función holomorfa F (z).<br />
n<br />
F (ai) +<br />
En particular, si F (z) = 1 se tiene:<br />
<br />
1 f<br />
2πi<br />
′ (z)<br />
dz = (n − m)<br />
f(z)<br />
γ<br />
i=1<br />
m<br />
F (bi)<br />
Demostración. Sea α uno <strong>de</strong> los puntos ai o bj. Tenemos<br />
i=1<br />
f(z) = av(z − α) v (1 + b1(z − α) + ...)<br />
don<strong>de</strong> v es el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l cero o polo en ai o bj con v ∈ Z. Entonces:<br />
Luego<br />
Como f es holomorfa<br />
Así<br />
Vemos que<br />
f ′ (z) = vav(z − α) v−1 + ...<br />
f ′ (z)<br />
f(z) =<br />
v<br />
+ ...<br />
(z − α)<br />
F (z) = F (α) + F ′ (α)(z − α) + ...<br />
F (z) f ′ (z)<br />
f(z)<br />
= vF (α)<br />
(z − α) + vF ′ (α) + ...<br />
Res(F f ′ (z)<br />
, α) = vF (α)<br />
f(z)<br />
Por el Teorema <strong>de</strong> Residuos<br />
1<br />
2πi<br />
<br />
γ<br />
F (z) f ′ (z)<br />
dz =<br />
f(z)<br />
n<br />
F (ai) −<br />
i=1<br />
m<br />
F (bi)<br />
i=1