Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

38 CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS
Observación 71 Hay solo un numero finito de singularidades en K.
En efecto, si hubiese una suceción de singularidades, esta tendria un punto de
acumulación en K y luego en Ω, digamos z ∗ . Pero z ∗ tiene una vecindad D(z ∗ , R)\
{z ∗ }, en la cual f es holomorfa, lo cual es una contradiccion pues en esta vecindad
siempre habran puntos de la sucesión de polos y por lo tanto f no puede ser
holomorfa.
Demostración. Sean Ci pequeos círculos en torno a zi. La función f(z) es holomorfa
fuera de la union de sus discos.
Por el teorema de Cauchy
1
2πi
γ
f(z)dz = 1
2πi
= 1
2πi
=
n
i=1
n
i=1
Ci
|z−zi|
n
Res(f, zi)
i=1
f(z)dz
f(z)dz
Proposición 72 Si f(z) = p(z)
q(z) meromorfa, es tal que p(z0) = 0, q(z0) = 0 y
q ′ (z0) = 0. Entonces
Res(f, z0) = p(z0)
q(z0)
Demostración.
Entonces
Luego
Por otra parte
q(z) = q(z0) + q ′ (z0)(z − z0) + ... = q ′ (z0)(z − z − 0) + ...
(z − z0)f(z) =
=
(z − z0)p(z)
q ′ (z0)(z − z0) + q′′ (z0)(z − z − 0) 2
+ ...
2!
p(z)
q ′ (z0) + q′′ (z0)(z − z0)
2!
+ ...
lím (z − z − 0)f(z) =
z→z0
p(z0)
q ′ (z − 0)
f(z) = a−1
(z − z0) + a0 + a − 1(z − z0) + ...