Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

5.2. RESIDUOS 37
Entonces f(z) = w0+c0+c−1(z−z0)+... .Asi f es analítica en z0. Contradicción.
Otro caso es que
Luego f(z) = w0 +
f(z) − w0 =
c0
=
=
1
bn(z − z0) n + bn+1(z − z0) n+1 + ...
1
bn(z − z0) n
+
b − n(z − z0) n
1
(1 + bn+1
bn (z − z0) + ...)
1
bn(z − z0) n (c0 + c1(z − z0) + ...)
c1
+ ...
bn(z − z0) n−1
Asi f tiene un polo de orden n en z0. Contradicción
Definición 68 Una función f se dice meromorfa en Ω si es el cuociente de dos
donde q = 0
funciones analíticas, esto es: f = p
q
Observación 69 Las singularidades de una función meromorfa, corresponden a
los ceros de q (pueden ser polos o singularidades esenciales).
Note además, que los ceros de una función analítica son discretos.
En efecto: Sea z0 ∈ Ω tal que f(z0) = 0, entonces existe una vecindad de z0 tal
que
f(z) =
an(z − z0) n = a1(z − z0) + a2(z − z0) 2 + ...
n≥0
Sea n0 el primer entero tal que an0 = 0 entonces
f(z) = (z − z0) n0 (an0 + an0+1(z − z0) + ...)
g(z)
Por lo tanto hay una vecindad de z0 donde f(z) = 0 excepto por z0.
En efecto : Sea zn → Z0 tal que f(zn) = 0. Entonces
0 = f(zn) = (zn − z0) n0 g(zn)
Asi g(zn) = 0 para todo n . Luego g(zn) = 0. Contradicción.
5.2. Residuos
Teorema 70 (De residuos) Sea f meromorfa en Ω. Sea K compacto en Ω con
borde γ. Entonces
n
1
f(z)dz = Res(f, zi)
2πi γ
i=1