Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

36 CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS
se llama residuo.
3) Hay infinitos bk = 0. En este caso se dice que f tiene una singularidad esencial.
Ejemplo 66 1) Desarrollo de f(z) =
cos z = 1 − z2
2!
cos z
z 3
+ z4
4!
en torno a z0 = 0
− z6
6!
+ ...
Entonces
f(z) = 1 1 z z3
− + − + ...
z3 2z3 4! 6!
Luego f(z) tiene un polo de orden 3 en z − 0 = 0
2) Desarrollo de f(z) = e 1/z en torno a z0 = 0.
Entonces
e u =
n≥0
u n
n!
= 1 + u + u2
2!
+ u3
3!
e 1/z = 1 + 1 1
+
z z2 1
+
2! z3 + ...
3!
Luego e1/z tiene una singularidad esencial en z0 = 0
+ ...
Teorema 67 (Casorati-Weierstrass) Sea z0 una singularidad esencial de f(z).
Entonces la imagen de cualquier vecindad de z0 es clausura en el plano C.
Demostración. Supongamos lo contrario. Entonces existe un δ > 0 ɛ > 0 y
w0 ∈ C tales que |z − z0| < δ entonces |f(z) − w0| ≥ ɛ.
Consideremos
1
h(z) =
f(z) − w0
Claramente h es analítica en D(z0, ɛ). Pero como h es acotada |h(z)| ≤ 1;
se tiene
ɛ
que h(z) es también analítica en z0 (Tiene un desarrrollo en serie de Laurent y si
tuviera un número infinito de potencias negativas, entonces no podria ser caotada
h(z) =
b−2 b−1
+
(z − z − 0) 2 (z − z0) + b0 + b1(z − z − 0) + b2(z − z0) 2 + ...
y |h(z)| < 1
ɛ para todo z ∈ D(z0, δ), luego b−1 = b−2 = ... = 0. Entonces
luego h es analítica en z0
h(z) = b0 + b1(z − z0) + b2(z − z0) 2 + ...
f(z) − w0 =
1
b0 + b1(z − z0) + b2(z − z 2 0 + ...)
= c0 + c1(z − z − 0) + ...