Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

5.1. DESARROLLO EN SERIE DE LAURENT 35
En γ1:
para |s − z0| < |z − z0|.
1
s − z =
=
=
=
1
s − z0 + z0 − z
1 1
z0 − z (1 + s−z0
z0−z )
1 1
z0 − z
−1
z − z0
(1 − s−z0
z−z0 )
n≥0
(s − z0) n
(z − z − 0 n )
=
(s − z0) n 1
(z − z0) n+1
n≥0
Integrando término a término, lo cual es justificado por la convergencia uniforme
sobre compactos de la serie, se obtiene:
−1
2πi γ1
f(s)
(s − z)
Esto prueba el teorema.
ds = (
n≥0
1
2πi
=
( 1
2πi
n≥1
γ1
γ1
f(s)(s − z0) n 1
ds)
(z − z0) n+1
f(s)(s − z0) n−1 1
)
(z − z0) n
Observación 65 De la demostración del teorema anterior se nota que:
bn = 1
f(s)(s − z0)
2πi
k−1 ds
γ1
con k = 1, 2...
Hay tres posibilidades :
1)bk = 0 para todo k = 1, 2.... En este caso, la función es analítica en |z −z0| < R
2)bk para todo k > m. En este caso
f(z) =
bm
(z − z m 0 )
b1
+ ...
(z − z0) + a0 + a1(z − z0) + ...
y se dice que f(z) tiene un polo de orden m en z0.
Además :
bm
b1
+ ... +
(z − z0) m (z − z0)
se llama parte principal de f y
b1 = 1
2πi
|z−z0|
f(s)ds = Res(f, z0)