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Capítulo 5
Polos y residuos
5.1. Desarrollo en serie de Laurent
Teorema 64 Sea f(z) una función analítica en un anillo (o corona) r < |z −
z0| < R.Entonces f(z) se puede representar por una serie de la forma
f(z) =
an(z − z0) n + bn
(z − z0) n
n≥0
que converge uniformemente en compactos de ese anillo. Además:
1) La primera serie converge en |z − z0| < R
2) La segunda serie converge en |z − z0| > r
Demostración. Sean γ1 y γ2 circulos de radios r ′ y R ′ respectivamente, con
r < r ′ < R ′ < R.
Por la fórmula de Cauchy en el anillo r ′ ≤ |z − z0| ≤ R ′ se tiene:
f(z) = 1
2π γ
= 1
2π
con γ = γ2 − γ1
Procedemos ahora como sigue:
En γ2:
Entonces
1
(s − z) =
1
s − z0 + z0 − z
1
2πi γ2
γ2
f(s)
(s − z) ds
n≥1
f(s) 1
ds −
(s − z) 2π
= 1
s − z0
f(s)
(s − z)
1
1 − z−z0
s−z0
γ1
=
f(s)
(s − z) ds
n≥0
ds = an(z − z0) n
34
n≥0
1
(s − z0) n+1 (z − zn 0 )