Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

4.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES 33
Teorema 62 (Fundamental del Algebra) Todo polinomio no constante p(z) =
anz n + an−1z n−1 + ... + a0 con an = 0 tiene n raíces en C.
Demostración. Basta demostrar que tiene una raíz (luego se divide por ella y
se obtiene un polinomio de grado menor donde se aplica denuevo el resultado ).
Supongamos, por absurdo, que p(z) no tiene ninguna raíz.Entonces h(z) = 1
p(z)
es analítica en C (entera). Vamos a demostrar que h(z) (y luego p(z)) es constante,
por lo cual probamos que h(z) es acotada en C y usaremos el teorema de Liuville.
En efecto:
1
lím
z→∞ p(z)
= lím
t→∞
= lím
z→∞
1
anz n + ... + a0
tn = 0
an + an−1t + ...a0tn Luego, dado ɛ > 0 existe R > 0 tal que |z| ≥ R luego |h(z) = 1
| ≤ ɛ.
p(z)
Por otra parte, si |z| ≤ R entonces |h(z)| ≤ M, pues h es continua y {z : |z| ≤ R}
es compacto . Por lo tanto |h(z)| ≤ ɛ + M. Luego h es acotada, entonces h(z) es
constante y así p(z) es constante. Contradicción.
Teorema 63 (Del Valor Medio) Si f es Analítica en un abierto Ω y {z : |z−z0| ≤
r} ⊆ Ω entonces
f(z0) = 1
2π
f(z0 + re
2π 0
iθ )dθ
Demostración. Usamos la fórmula de Cauchy
f(z0) = 1
2πi
f(z)
z − z0
donde C es el círculo z = z0 + reiθ con 0 ≤ θ ≤ 2π.
Entonces
f(z0) = 1
2π
2πi
= 1
2π
0
2π
0
C
f(z0 + reiθ )
reiθ rie iθ dθ
f(z0 + re iθ )dθ