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32 CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN
Demostración. Claramente la fórmula f(z) = f(z) para z ∈ Ω, extiende f(z)
al dominio Ω
Para demostrar que f es holomorfa en Ω∗ calculamos
f(z)dz donde γ es una
curva en Ω∗ homotópica a un punto. Si γ esta en Ω ó Ω no hay problema. Luego
hay que analizar el caso en que γ se encuentre en ambas.
Separamos γ en dos caminos. Puesto que la integral sobre cada uno se anula, se
obtiene:
f(z)dz = 0.
γ
En efecto
γ
f = lím
ɛ→0
γ1ɛ
+ lím
ɛ→0
γ2ɛ
Luego por el teorema de Morera, f es holomorfa.
Observación 59 Da lo mismo hacer una reflexión sobre el eje real o bien en una
recta cualquiera. Por lo tanto, si f está definida por ejemplo en un rectángulo,
por el principio de reflexión de Schwartz, es posible extenderla a todo el plano.
Análogamente se podría hacer con un triángulo.
Proposición 60 (Desigualdad de Cauchy) Sea f(z) una función analítica en C
(entera). Entonces
donde M(r) = max|z|=r|f(z)|
|f n (0)| ≤ n!
M(r)
rn Demostración. Tenemos por la fórmula de Cauchy con z0 = 0
f n (0) = n!
f(z)
dz
2πi zn+1 donde C es el círculo z = re iθ con r > 0 y 0 ≤ θ ≥ 2π. Se obtiene:
|f n (0)| = | n!
2πi
2π
0
f(reiθ )
rn+1ei(n+1)θ rieiθdθ| ≤ n!
2π
2π
≤ n!
M(r)
2πrn 0
C
dθ = n!M(r)
r n
γ
2π
0
f(reiθ )
rn dθ
Teorema 61 (de Liouville) Sea f(z) una función analítica, entera y acotada,
entonces f es constante.
Demostración. Como f es acotada
|f n (0)| ≤ n!
M
rn donde M = supz∈C|f(z)|.
Luego haciendo r → ∞ se obtiene f n (0) = 0 para n ≥ 1.
Como f es analítica, f(z) =
n≥0
f n (0)
n! zn = f(0) + f ′ (0)
+ ....
1!
Luego f(z) = f(0), por lo tanto f es constante.