Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

4.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES 29
por teorema anterior. Sea h(z) := e g1(z) . Entonces
así
luego
y
h ′ = e g1
′
′ f g1 g 1 = e
f
h ′ f − hf ′ = 0
( h
f )′ = 0
h
f
= c
con c = cte
Por lo tanto h(z) = cf(z) , c = 0 pues h = 0
Asi tendremos
f(z) = 1
c eg1 = e g1(z)+c1
Por lo tanto
g(z) = g1(z) + c1
entonces
e g(z) = f(z)
Ejemplo 54 1) Sea Ω:=C\{semieje real negativo}. Sea f(z) = z 2 . Entonces f(z)
es holomorfa y sin ceros en Ω simplemente conexo. Entonces existe log(z 2 ). Note
que no se puede definir log(z 2 ) en Ω = C \ {0} pues no es simplemente conexo.
2) f(z)existe. En efecto:
Definimos: f(z) = e 1
2 gz
Recordemos el teorema de Cauchy:
γ
f(z)dz = 0
si f es analitica y γ el borde del camino donde f está definida.
Nos preguntamos si existen otras funciones (que no sean analíticas) con la propiedad
anterior. La respuesta es no.
Teorema 55 (reciproco del teorema de Cauchy) Si f es una función continua
definida en Ω y tal que
γ
f(z)dz = 0
sobre toda la curva en Ω tal que γ sea homotópica a un punto. Entonces f es
holomorfa.