Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

4.3. TEORÍA DE INDICE Y HOMOTOPÍA 27
Corolario 46
f (n) (z0) = n!
2πi C
f(z)
dz
(z − z0) n+1
4.3. Teoría de indice y homotopía
Definición 47 Sea γ una curva cerrada, de clase C 1 , y z ∈ C. Se llama Indice
de z con respecto a γ al número
Indγ(z) = 1
2πi γ
1
(w − z)
La expresión anterior es la fórmula de Cauchy con f(w) = 1. Reescribiendo
tenemos que
Indγ = 1
b
γ
2πi a
′ (t)
, γ : [a, b] → C
γ(t) − z
Observación 48 1) El índice indica . el número de vueltas”que da la curva γ en
torno a z, si z ∈ Int(γ)
2) Si z ∈ Ext(γ), entonces Indγ(z) = 0 (por teorema de Cauchy)
3) Si Indγ(z) = 0, entonces z ∈ Int(γ)
4) Indγ(z) ∈ Z{0} si z ∈ Int(γ)
Definición 49 Dos curvas cerradas cuyas trayectorias estan en un conjunto Ω
se dice que son homótopas en Ω si pueden deformarse continuamente entre sí,
sin que las deformaciones se salgan de Ω.
Mas precisamente, sea Ω ⊆ C y γ0 y γ1 curvas cerradas en Ω. γ0 es homótopa a
γ1 si existe una función continua H : [a, b] × [0, 1] → Ω tal que H(t, 0) = γ0(t),
H(a, s) = H(b, s) y H(t, 1) = γ1(t), t ∈ [a, b], en tal caso se dice que t es una
homotopía en Ω entre γ0 y γ1 y se denota γ0 ∼ γ1
Teorema 50 (Invarianza del Indice por homotopía) Si Ω ⊆ C abierto , γ0 y γ1
curvas cerradas en Ω tal que γ0 ∼ γ1, entonces Indγ0(z) = Indγ1(z)
4.4. Teoremas fundamentales
Definición 51 Un abierto Ω ⊆ C se dice simplemente conexo si es conexo y
cualquier camino cerrado en Ω es homotópico a un punto en Ω
Teorema 52 Sea Ω un conjunto simplemente conexo y sea f analítica (u holomorfa)
en Ω entonces existe F tal que F ′ = f