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26 CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN
con f(z) = 1
z − 1 analítica en γ y considerando z0 = −1, la integral toma el valor
2πf(−1) = 2π( −1
) = −πi
2
2) Si consideramos la integral anterior, pero con la región β, entonces podemos
escribir
1
β z2 1
=
− 1 2 (
1
β z − 1 −
1
β z + 1 )
con f(z) = 1 analítica en β la integral toma el valor
1
((2πif(1)) − (2πif(−1))) = 0
2
Teorema 45 Una función f es analítica en Ω si y sólo si para todo z0 en Ω
existe una serie de potencias tal que
∞
f(z) = an(z − z0) n , |z − z0| ∈ R
n=0
Demostración.
(⇐) Queda demostrado por lo visto antes
(⇒) Consideremos la fórmula de Cauchy
f(z) = 1
2πi
entonces podemos escribir
así
1
w − z = 1
w−z0
=
1
w − z0
C
f(z) = 1
2πi C
=
=
f(w)
w − z dw, C(t) = z0 + re it
1
[1− z−z 0
w−w 0 ]
∞
n=0
n=0
(z − z0) n
(w − z0) n , |z − z0| < |w − z0|
∞
(z − z0) n f(w)
dw
(w − z0) n+1
∞
[ 1
f(w)
dw] (z − z0)
2πi C (w − z0) n+1
n
n=0
∞
an(z − z0) n
n=0