Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

4.2. FORMULA DE CAUCHY 25
Proposición 40 Si existe F tal que F ′ = f, entonces
f(z)dz = F (γ(b)) − F (γ(a))
Demostración. Tenemos que
f(z)dz =
γ
γ
b
a
f(γ(t))γ ′ (t)dt
= F (γ(b)) − F (γ(a))
Corolario 41 Si existe F tal que F ′ = f y γ es una curva cerrada, entonces
f(z)dz = 0
4.2. Formula de Cauchy
γ
Teorema 42 (De Green) Sea Ω un dominio abierto y conexo, cuya frontera es
regular, entonces
(P dx + Qdy) = ( ∂Q ∂P
−
∂x ∂y )
γ=∂Ω
En notación compleja el Teorema de Green puede ser expresado como
γ
∂f
f(z)dz = 2i
Ω ∂z dxdy
Proposición 43 (Fórmula de Cauchy) Sea f analítica en Ω con frontera regular,
entonces
f(z)
dz = 2πif(z0); z0 ∈ Ω
∂Ω z − z0
1
Ejemplo 44 1) dw donde γ es la región de la figura
γ z2 − 1
Podemos escribir la integral como
1
dz =
(z − 1)(z + 1)
γ
Ω
γ
f(z)
z + 1