Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

3.6. TRANSFORMACIONES CONFORMES 23
de la función real
cuando
1
(1 + x 2 )
1
(1 + x 2 )
converge para |x| < 1, pero diverge para x = 1, aun
es indefinidamente derivable para todo valor de x. La explicación
radica en la extensión de la función f(z) =
∞
z = ±i. Luego su serie de Taylor
n=0
1
(1 + z2 . Esta función es singular en
)
(−1) n x 2n en torno a z = 0 tiene radio de
convergencia |i − 0| = 1. Si R = ∞, la función f(z) es analítica para todo z. Una
tal función se llama entera.
3.6. Transformaciones conformes
Proposición 33 Una Transformación conforme es una función f : Ω ⊆ C → C,
analítica tal que f ′ (z) = 0, ∀z ∈ Ω
Observación 34 Si f es conforme, entonces f preserva los ángulos
Consideremos f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), f(z) = u + iv, luego vemos que
Df(z0) =
⎛
⎜
⎝
∂u
∂x
∂v
∂x
∂u
⎞
∂y
∂v
∂y
⎟
⎠
Teorema 35 Si Ω es una región simplemente conexa (sin hoyos), entonces siempre
existe f : Ω → D biyectiva y analítica, o bien analítica y conforme