Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

22 CAPÍTULO 3. SERIES
Ejemplo 29 Conocemos la serie de Taylor e x =
analítica f(z) =
Notemos que
n≥0
n≥0
xn . Se define la extensión
n!
zn . Observemos que esta serie converge para todo z ∈ C.
n!
f ′ (z) = nzn−1 z
=
n! n−1
(n − 1)!
n≥0
y f(0) = 1, luego f(z) = e z
n≥0
3.5. Prolongación analítica
=
n≥0
z n
n!
= f(z)
Sea R el radio de convergencia de la serie de Taylor de f(z) en torno a z0. Si
|z − z0| < R, la serie de Taylor de f(z) en torno a z1 converge ciertamente para
|z −z1| < R−|z1 −z0|. Sin embargo, puede haber un radio de convergencia mayor
R1. Entonces tenemos definida la función analitica f(z) como función analítica
en un dominio mayor. Este proceso se conoce como prolongación analítica.
Ejemplo 30 Consideremos la función
f(z) =
∞
(−z) n
n=0
(3.1)
Se ve fácilmente que su radio de convergencia es 1. De este modo f(z) esta definida
para |z| < 1. Sumando las series corespondientes a f( 1
2 ), f ′ ( 1)...
encontramos
2
la serie de Taylor
∞ 2
f(z) =
3 {−2
1
(z −
3 2 )}n
n=0
Su radio de convergencia es 3,
de este modo hemos prolongado f(z) al círculo
2
|z − 1 3 | < | | que es exterior al círculo original |z| < 1. Mediante una sucesión de
2 2
círculos podemos cubrir cualquier punto del plano z distinto del z = −1. Queda
1
asi definida f(z) como una funcion analítica para z = 1. De hecho f(z) =
(1 + z)
Observación 31 El radio de convergencia R de la serie de Taylor de f(z) en
torno a z0 es igual a la distancia de z0 a la singularidad de f(z)
Ejemplo 32 La serie de Taylor
∞
n=0
(−1) n x 2n