Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

20 CAPÍTULO 3. SERIES
3.3. Serie geométrica
1
1 − z =
∞
z n , |z| < 1
n=0
f(z) = 1
1 − z
f ′ 1
(z) =
(1 − z) 2
f ′′ 2
(z) =
(1 − z) 3
f ′′′ 3!
(z) =
(1 − z) 4
Por lo tanto tenemos que f n (0) = n!
luego an = f n (0)
= 1
n!
así tendremos
∞
f(z) = anz n =
n=0
∞
z n , |z| < R = 1
n=o
donde el radio de convergencia está dado por
R =
Otros ejemplos de series geométricas son
i)
1
1 + z =
∞
ii)
iii)
1
=
1 + z2 n=0
1
lím n |an|
(−1) n z n , |z| < 1
∞
(−1) n z 2n , |z| < 1
n=0
ln(1 + z) =
Sabemos que (ln(1 + z)) ′ = 1
1 + z =
luego integrando tenemos
∞
n=0
∞
anz n
n=0
(−1) n z n