Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

18 CAPÍTULO 3. SERIES
Observación. Si f(z) =
Sea g(z) = f ′ (z), entonces
g ′ ∞
(z) = n(n − 1)anz n−2
n=2
∞
n=0
Sea h(z) = g ′ (z), entonces
h ′ ∞
(z) = n(n − 1)(n − 2)z n−3
n=2
anz n y f ′ (z) =
∞
nanz n−1 .
n=1
.
Detengámonos a analizar las funciones anteriores:
f(z) = a0 + a1z + a2z 2 + a3z 3 + a4z 4 + · · · =⇒ f(0) = a0
f ′ (z) = a1 + 2a2z + 3a3z 2 + 4a4z 3 + · · · =⇒ f ′ (0) = a1
f ′′ (0) = 2a2 + 3 · 2a3z + 4 · 3a4z 2 + · · · =⇒ f ′′ (0) = 2a2
f ′′′ (z) = 3 · 2a3 + 4 · 3 · 2a4z + · · · =⇒ f ′′′ (0) = 3 · 2a3
.
f (n) (0) = n!an
Por lo tanto
an = f (n) (0)
n!
Corolario 28 Si f (n) (z) es analítica para todo n, entonces f es de clase C ∞ .
3.2. Representaciones por series de Taylor
1. Función exponencial:
2. Función seno:
sin z = ez − e −z
2i
e z =
= 1
∞
(iz)
2i
n=0
n
n! −
Analicemos la expresión (i) n − (−i) n :
∞
n=0
z n
n!
∞ (−iz) n
n=0
Si n es par: (i) 2k − (−1) 2k (i) 2k = (i) 2k [1 − (−1) 2k ] = 0
Si n es impar: (i) 2k+1 − (−1) 2k+1 (i) 2k+1
= (i) 2k i[1 − (−1) 2k (−1)] = 2(i) 2k i = (i 2 ) k 2i = (−1) k 2i
n!
= 1
2i
∞
n=0
(i) n − (−i) n
n!