Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

3.1. SERIES DE TAYLOR 17
z
n − zn
0
z − z0
≤ rn−1 + r n−2 r + r n−3 r 2 + · · · + r n−1
Porlo tanto,
z
n − zn
0
z − ≤ nrn−1
z0
Luego
∞
anz
n=N+1
n ∞
− anz
n=N+1
n
0
∞
z − ≤ |an|
z0 n=N+1
cuando N → ∞
∞
Ahora veamos que si h(r) =
n=0
z n − z n 0
z − z0
≤
|an|r n , entonces h ′ (r) =
∞
n=N+1
n|an|r n−1 → 0,
∞
n|an|r n−1 , con radio
de convergencia R para ambas series.
1
Si R =
lím n |an| es el radio de convergencia de h(r) y R′ el radio de convergencia
de h ′ (r), entonces
R ′ 1
=
lím n n|an| =
1
lím n√ n n 1
= = R
n |an| |an|
∞
Veamos que
converge en D(0, R):
n=1
nanz n−1
0
Ejemplo 27 Si f ′ (z) =
analítica en C, y
R ′ =
∞
n=1
1
lím n n|an| =
z n
n!
f ′ (z) =
Haciendo m = n − 1, tenemos:
1
lím n |an|
n=1
converge en C, esto es R = ∞ , entonces f es
∞
n=1
n zn−1
n! =
f ′ (z) =
∞
m=0
∞
n=1
z m
m!
z n−1
(n − 1)!
De lo anterior se puede observar que, f ′ (z) = f(z) y f(0) = 1 , entonces f(z) = e z
y por lo tanto,
e z =
∞
n=0
z n
n! .