Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

16 CAPÍTULO 3. SERIES
f(z)
− f(z0)
z − z0
−
∞
n=0
nanz n 0
=
≤
+
+
∞
anz
n=0
n −
z−z0
∞
n=0
N
anz
n=0
n N
−
n=0
z − z0
N
n=1
∞
n=N+1
nanz n−1
0
−
anz n −
z−z0
anz n 0
anz n 0
− ∞
n=1
−
N
n=1
∞
nanz n−1
0
n=1
∞
n=N+1
anz n 0
n−1
nanz
0
nanz n−1
0
El primer término tiende a cero cuando z tiende a z0, ya que es la derivada del
polinomio
N
p(z) = anz n .
n=0
El segundo término tiende a cero cuando N tiende a infinito, ya que la serie
∞
nanz n−1 converge, lo que demostraremos más adelante.
n=1
Para
el tercer término se tiene que:
∞
anz
n=N+1
n ∞
− anz
n=N+1
n
0
∞
z − =
z0
Pero,
z n − z n 0
n=N+1
z
an
n − zn 0
z − z0
= z n−1 + z n−2 z0 + z n−3 z 2 0 + · · · + z n−1
0
z − z0
Porlo tanto,
z
n − zn
0
z − z0
≤ |z|n−1 + |z| n−2 |z0| + |z| n−3 |z0| 2 + · · · + |z0| n−1
Existe un r < R, tal que,