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14 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Teorema 23 Las soluciones de la ecuación y ′′ = ky; k ∈ C son de la forma:
y(z) = A cosh( √ kz) + B sinh( √ kz).
V. Función logaritmo. Se define la función logaritmo como:
para r > 0 y θ ∈ [−π, π].
ln z = ln r + iθ,
Propiedades
1) La función logaritmo es analítica en Ω.
2) (ln z) ′ = 1
z
3) e ln z = z, para todo z ∈ Ω.
VI. Función potencia. La función potencia se define como:
para cada w ∈ Ω.
z w = e w ln z ,
Propiedades
1) La función potencia es analítica en Ω.
2) d(zw )
= wzw−1
dz
Ejemplo: Calcular ii .
Solución: Aplicando la definición de la función logaritmo, queda: ln i = ln 1 +
i π
2
iπ = 2 Entonces ii π
i(i = e 2 ) = e −π
2
Ejercicio 24 Calcule i ii
.