Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

12 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Definición 18 Sea p : Ω ⊆ C → R, p se dice armónica si
∂2p ∂x2 + ∂2p = 0 .
∂y2 Notación: ∆p := ∂2p ∂x2 + ∂2p se le llama el Laplaciano de p.
∂y2 Proposición 19 Si f = u + iv es analítica, entonces u y v son armónicas.
Demostración.
Debemos probar por definición que ∆u = 0 y ∆v = 0. Como f es analítica,
entonces: ∂f
= 0
∂z
Como f = u + iv, entonces: ∂u
∂z
Por lo tanto,
y
+ i∂v
∂z
∂ 2 u
∂z∂z
∂ 2 v
∂z∂z
= 0. Así, ∂u
∂z
= 0
= 0.
De esto se puede concluir que ∆u = 0 y ∆v = 0.
Ejercicio 20
= 0 y ∂v
∂z
= 0.
1) Sea f(x, y) = x 2 + y 2 . Demuestre que f no puede ser la parte real o
imaginaria de una función analítica.
2) Pruebe que si f es analítica y u es armónica, entonces f ◦ u es armónica.
2.2. Algunas funciones de variable compleja.
I. Función exponencial. Se define como:
e z := e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y)
Propiedades