Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

10 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Observar que cuando t → 0
y
u(z0 + t) − u(z0)
t
u(z0 + it) − u(z0)
t
Reemplazando, obtenemos
Luego
y
= u(x0 + t, y0) − u(x0, y0)
t
= u(x0, y0 + t) − u(x0, y0)
t
∂u
∂x (z0) + i ∂v
∂x (z0) = 1
i
∂u
∂x
− ∂v
∂x
(⇐) Como f es diferenciable, existe
⎛
tal que
⎜
Df(x0, y0) = ⎜
⎝
∂u
∂y (z0) + i ∂v
∂y (z0)
.
= ∂v
∂y
= ∂u
∂y .
∂u ∂u
(z0)
∂x ∂y (z0)
∂v ∂v
(z0)
∂x ∂y (z0)
x − x0
f(x, y) = f(x0, y0) + Df(x0, y0) y − y0
o equivalentemente
Por hipótesis
⎞
⎟
⎠
−→ ∂u
∂x (x0, y0)
−→ ∂u
∂y (x0, y0).
+ e(x − x0, y − y0),
u(x, y) + iv(x, y) = u(x0, y0) + iv(x0, y0) + ∂u
∂x (x0, y0)(x − x0)
+ ∂u
∂y (x0, y0)(y − y0)
∂v
+ i
∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂v
∂y (x0,
y0)(y − y0)
+ e1(x − x0, y − y0) + ie2(x − x0, y − y0).
f(z) − f(z0) = ∂u
∂x (z0)(x − x0) + ∂u
∂y (z0)(y − y0)
+i − ∂u
∂y (z0)(x − x0) + ∂u
∂x (z0)(y
− y0) + e(x − x0, y − y0)