LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos
Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental
Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular
LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD. FLUIDOS NEWTONIANOS
Y NO-NEWTONIANOS
-τ tiene su origen en la existencia de un gradiente de velocidad en un
fluido. Cuando mayor es el valor del gradiente de velocidad mayor será el
módulo de τ.
-Por lo tanto, existe una vinculación entre τ y el gradiente de velocidad.
Newton propuso un modelo que supone que existe una relación lineal
entre ambos.
y
y
y
y
x
x
x
x
Y t0 pequeño
Y t>0 intermedio
Y Estado estacionario
14
V
Vx
Vx
Vx

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-Supongamos un fluido contenido entre dos grandes láminas planas y
paralelas de área A separadas entre si por una pequeña distancia “Y”. Al
tiempo t

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dv x
-De acuerdo con el perfil de velocidades mostrado en la figura 〈 0
dy
pues cuando “y” aumenta vx disminuye. Por lo tanto τyx deberá ser
positivo y en el elemento de volumen de fluido las fuerzas generadas por
los esfuerzos de corte τyx deberán tener signo opuesto al signo del área.
y
dy
Fx:-
Ay:+
Ay:-
Fx:+
x
-Sobre la cara “y” negativa del elemento de volumen considerado existe
una fuerza en “x” positiva pues el elemento de volumen inferior se mueve
mas rápidamente y tiende a arrastrarlo. En cambio sobre la cara “y”
positiva existe una fuerza en “x” negativa pues el elemento de volumen
superior se mueve mas lentamente y tiende a frenar al elemento de
volumen considerado.
-Unidades de μ
⎡ ⎤
⎢ τ yx ⎥
μ = ⎢−
=
dv ⎥
⎢ x ⎥
⎢⎣
dy ⎥⎦
din
2
cm
s ⋅ cm
g ⋅ cm ⋅ s
cm
2
⋅ s
2
g
cm ⋅ s
[ ] cm = = = poise
-El ejemplo de flujo analizado es el mas sencillo posible, solo existe
gradiente de velocidad en una dirección. Para sistemas en los cuales
existen gradientes en todas las direcciones posibles la expresión es mucho
mas compleja:
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Vx

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2
τ = −2
μe
+ μ(
∇ • v)I
3
Donde:
⎛
⎜
∂vx
⎜ ∂x
⎜
⎜
1 ⎛ ∂v
y ∂v
⎞
e = ⎜ ⎟
⎜ ⎜
+ x
2
⎟
⎝ ∂x
∂y
⎠
⎜
⎜ 1 ⎛ ∂vz
∂v
⎞
⎜
⎜ + x
⎟
⎝ 2 ⎝ ∂x
∂z
⎠
1 ⎛ ∂v
y ∂v
⎞
⎜ ⎟
⎜
+ x
2
⎟
⎝ ∂x
∂y
⎠
∂v
y
∂y
1 ⎛ ∂v
∂ ⎞
⎜ z v y
⎟
⎜
+
2 ⎟
⎝ ∂y
∂z
⎠
1 ⎛ ∂vz
∂v
⎞⎞
⎜ + x
⎟⎟
2 ⎝ ∂x
∂z
⎠⎟
⎛ ∂v
⎞
⎟
1 y ∂v
⎜ ⎟⎟
⎜
+
z
2 ⎟
⎝ ∂z
∂y
⎠⎟
⎟
∂vz
⎟
∂z
⎟
⎠
-La expresión completa de τ se denomina ecuación de Stokes y contiene a
la ley de Newton como un caso particular de un fluido con deformación y
gradiente de velocidad en un única dirección.
-Es importante recordar que la ecuación de Stokes es un modelo de
comportamiento de fluido con deformación que supone que existe una
relación lineal entre el esfuerzo de corte aplicado al fluido y el gradiente
de velocidad que se produce en el mismo.
-Existen fluidos cuyo comportamiento puede ser representado con
bastante exactitud por el modelo de Stokes y se los denomina fluidos
newtonianos. Son fluidos newtonianos (cumplen con el modelo) todos los
gases, la mayoría de los líquidos simples y los metales fundidos.
-Los fluidos que no cumplen la ley de Newton de la viscosidad se
denominan no-newtonianos y su estudio es el objetivo de una ciencia
llamada reología.
-La expresión matemática que representa la relación que existe entre el
gradiente de velocidad en un fluido y el tensor esfuerzo viscoso originado
se denomina ecuación constitutiva de ese fluido.
-En forma generalizada se escribe como:
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dv x
τ yx = −η
dy
con η como una viscosidad aparente.
-Otros comportamientos reológicos distintos al newtoniano corresponden
a:I) fluidos pseudoplásticos: η disminuye al aumentar el gradiente de
velocidad.
II) fluidos dilatantes: η aumenta al aumentar el gradiente de velocidad.
III) plásticos de Bingham: es necesario superar un cierto valor “umbral”
de esfuerzos de corte para que el sistema comience a fluir.
τyx
Plástico de Bingham
Pseudoplástico
−
⎛
⎜
⎝
dv x
Newtoniano
Dilatante
⎞
dy⎟
⎠
-Además puede ocurrir que la viscosidad aparente disminuya con el
tiempo de aplicación del esfuerzo (fluidos tixotrópicos) o que aumente
(fluidos reopécticos).
TEORIA DE LA VISCOSIDAD EN GASES A BAJA PRESION
-En el caso de caso de gases a baja presión es posible deducir una
expresión matemática para calcular la viscosidad empleando la
naturaleza molecular de la materia.
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-Objetivo: encontrar una expresión matemática que permita calcular la
viscosidad de un gas.
-Suposiciones: se adopta un modelo que se basa en las siguientes
suposiciones:
-las moléculas son esferas rígidas de diámetro d y masa m, no interactúan
entre si y poseen una concentración de n moléculas por unidad de
volumen.
-el gas se encuentra a baja presión.
-Son válidos los resultados de la teoría cinética de gases:
− 8kT
u = valor medio de la velocidad molecular
πm
−
Z = 1
4
n u frecuencia de choques por unidad de área
d n
2
1
λ = recorrido libre medio
2π
a = 2 λ distancia promedio a la cual se produjo la última colisión
3
-Es importante no confundir u con v . u es el valor medio de las
velocidades individuales de las moléculas. v es el valor medio del vector
velocidad del fluido en un elemento de volumen donde vale la hipótesis del
continuo. En un fluido que no está fluyendo v = 0 , pero u ≠ 0
-Supongamos que el gas fluye paralelo al eje “x” con un gradiente de
dv x
velocidad y que las ecuaciones de la teoría cinética (válidas para una
dy
situación de equilibrio) siguen siendo válidas en esta situación de noequilibrio
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y
a
a
vx⏐y+a
vx⏐y
vx⏐y-a
Perfil de velocidad vx(y)
Molécula que llega a “y”
después de chocar en (y-a). La
velocidad de esta molécula es
vx⏐y-a
-El flujo de cantidad de movimiento de dirección “x” a través de un plano
“y” (τyx) se obtiene sumando la cantidad de movimiento “x”
x
de las
moléculas que cruzan el plano en la dirección “y” positiva y restando la
cantidad de movimiento “x” de las que cruzan en la dirección “y”
negativa.
τ
yx
Zmv x Zmv
y −a x y + a
−
=
-En esta ecuación se ha supuesto que todas las moléculas tienen la
velocidad correspondiente al plano en el que realizaron la última colisión.
Fijado un plano “y” la última colisión en promedio ocurrió a una
distancia “+a” por encima de este plano y a una distancia “-a” por debajo
del mismo.
-Suponiendo vx lineal para distancias correspondientes a varios λ:
dv x 2 dv
v v
x
x y−a
= v − a = − λ
x y dy x y 3 dy
20
λ

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dv x 2 dv
v v
x
x y+
a
= v + a = + λ
x y dy x y 3 dy
Reemplazando:
τ
τ
τ
yx
yx
yx
⎛
2 dv x 2 dv
v
x 4
= Zm⎜
v − λ − − λ ⎟ = −Zm
x y 3 dy x y 3 dy 3
⎝
− dv − dv
= − 1
4
n u m λ
x
= − 1 n u mλ
x
4
3 dy
3
dy
⎛ dv ⎞
= − 1
8kT
1
⎜ x ⎟
2
3 nm
= −
πm
2 ⎜ dy ⎟ 3
2πd
n ⎝ ⎠
3π
2
Comparando con la ley de Newton:
τ
yx
⎛ dv
= −μ⎜
x
⎝ dy
⎞
⎟
⎠
se concluye que:
⎞
⎠
mkT
d
2
dv
λ
x
dy
⎛ dv
⎜ x
⎜ dy
⎝
2 mkT
μ =
3 2
3 2 d
π
-Para estimar μ es necesario conocer el diámetro de colisión de las
moléculas.
-La ecuación predice que μ es independiente de p lo cual resulta correcto
hasta aproximadamente 10 atm. La dependencia predicha con la
temperatura es menos satisfactoria. Para mejorarla es necesario utilizar
un modelo que tenga en cuenta las interacciones entre las moléculas.
21
⎞
⎟
⎠