Unidad Temática 1 Circuitos eléctricos
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CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
ELEMENTOS, LEYES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN<br />
DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS<br />
1.1 Sistema de unidades utilizados en la resolución de circuitos<br />
<strong>eléctricos</strong><br />
Las magnitudes y unidades que utilizaremos de acuerdo al Sistema Métrico Legal<br />
Argentino (SIMELA), serán las siguientes:<br />
Magnitud Nombre <strong>Unidad</strong><br />
u Tensión V Volt<br />
i Corriente A Ampere<br />
p Potencia W Vatio<br />
R Resistencia Ohm<br />
G Conductancia S Siemens<br />
A Energía J Joule<br />
t Tiempo s Segundo<br />
l Longitud m Metro<br />
1.2 Elementos básicos de un circuito eléctrico<br />
Los elementos básicos de un circuito eléctrico son las fuentes, los receptores y los<br />
conductores de energía eléctrica, los cuales se indican en la figura 1.1.<br />
Fuente de<br />
energía<br />
eléctrica<br />
Conductores <strong>eléctricos</strong><br />
Figura 1.1 elementos básicos de un circuito<br />
Receptor<br />
ó carga<br />
Los elementos básicos ideales, tienen 2 terminales, entre los cuales podemos tener una<br />
tensión que llamaremos “u” y la circulación de una corriente eléctrica “i”, según lo mostrado en la<br />
figura 1.2.<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 1
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Adoptaremos un sentido de corriente indicándolo mediante una flecha, al que denominaremos<br />
“positivo” por convención. Resuelto el circuito y si el resultado fuera contrario al asignado, el<br />
valor numérico de la corriente tendrá antepuesto un signo “menos”.<br />
Figura 1.2 Elemento de dos terminales<br />
Elementos activos<br />
Son aquellos que habitualmente aportan energía al sistema. Las fuentes de energía<br />
eléctrica (Pilas, acumuladores, generadores, etc.) convierten la energía mecánica, química, térmica<br />
ó radiante en energía eléctrica.<br />
Elementos pasivos<br />
Es todo elemento que sustrae energía del sistema, para convertirla irreversiblemente en<br />
otra forma de energía (Térmica en el Resistor “R”) ó acumularla en sus campos conservativos<br />
asociados (Campo magnético en el Inductor “L”, ó campo eléctrico en el Capacitor “C”).<br />
1.2.1 Excitación y respuesta<br />
La excitación está compuesta por los elementos del circuito que aportan energía, es decir,<br />
las fuentes ó también lo pueden ser para lapsos cortos, las bobinas y los capacitores (debido a la<br />
energía acumulada en sus campos respectivos)<br />
1.2.2 Ley de Ohm<br />
En muchos materiales conductores, como el cobre y el aluminio, la tensión que se<br />
establece entre sus terminales es directamente proporcional a la corriente que circula a través del<br />
mismo.<br />
La expresión matemática que lo expresa es:<br />
+<br />
u<br />
-<br />
i<br />
u = R. i<br />
Donde “R” es la constante de proporcionalidad y la llamaremos “Resistencia” y su unidad<br />
es el Ohm [ ].<br />
Este elemento dentro de ciertos límites, es considerado lineal ó sea que no cambia su valor<br />
con los distintos valores que puedan tomar la tensión ó la corriente.<br />
La representación gráfica de esta Ley es la que se muestra en la figura 1.3.<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 2<br />
1<br />
2
[S] .<br />
Figura 1.3 Relación entre la tensión y la corriente en una resistencia<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
A la inversa de la resistencia la llamaremos Conductancia “G”, siendo su unidad el Siemens<br />
Figura 1.4 Definición de la polaridad en una resistencia<br />
En la resistencia la corriente siempre es entrante por el terminal positivo, de acuerdo a lo<br />
indicado en la figura 1.4, lo que nos indica que siempre absorbe energía.<br />
1.3 Fuentes de energía<br />
1.3.1 Fuentes de energía ideales independientes<br />
u<br />
+<br />
u<br />
R<br />
Hay fuentes de tensión y fuentes de corriente ideales independientes, siendo su símbolo<br />
gráfico el que se indica en la figura 1.5.<br />
i<br />
i R<br />
u<br />
Figura 1.5 Dipolos activos ideales<br />
En las mismas está indicado respectivamente, la polaridad y el sentido de circulación de la<br />
corriente.<br />
Característica externa de una fuente de tensión ideal independiente<br />
La fuente de tensión ideal independiente presenta una tensión constante en sus terminales<br />
de salida, independientemente de la corriente que la misma suministre, lo cual se refleja en el<br />
gráfico de la figura 1.6.<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 3<br />
1<br />
G<br />
Fuente de tensión<br />
e i<br />
ideal independiente<br />
La tangente del<br />
ángulo es el<br />
valor de “R”<br />
i<br />
-<br />
i<br />
Fuente de corriente<br />
ideal independiente
e u<br />
Figura 1.6 Tensión en los terminales de una fuente de tensión<br />
ideal independiente<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
1° Cuadrante: La corriente es saliente del terminal positivo de la fuente, lo cual hace que la<br />
misma entregue energía al resto del circuito.<br />
2° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo de la fuente (Impuesta por el<br />
resto del circuito), lo que hace que absorba energía.<br />
La tensión en bornes de la fuente es constante cualquiera sea el valor o el sentido de la<br />
corriente.<br />
Característica externa de una fuente de corriente ideal independiente.<br />
La corriente que entrega este tipo de fuente es constante, cualquiera sea el valor de la<br />
tensión en sus terminales, según se ve en la figura 1.7.<br />
i<br />
iL<br />
iL<br />
u<br />
+<br />
-<br />
+<br />
-<br />
Circuito<br />
Conteniendo<br />
elementos pasivos<br />
y fuentes<br />
Circuito<br />
Conteniendo<br />
elementos pasivos<br />
y fuentes<br />
u = e = cte<br />
Figura 1.7 Corriente en los terminales de una fuente de corriente<br />
ideal independiente<br />
1° Cuadrante: La corriente es saliente del terminal positivo de la fuente, lo cual hace que la<br />
misma entregue energía al resto del circuito.<br />
4° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo de la fuente (Impuesto por el<br />
resto del circuito), lo que hace que absorba energía.<br />
Fuentes de energía reales independientes<br />
Toda fuente ó generador, en la práctica presenta interiormente, pérdidas de energía, que<br />
se representan en su símbolo gráfico por una resistencia, lo que hace que las características antes<br />
estudiadas difieran de la realidad.<br />
A los efectos del análisis correspondiente, vamos a trabajar con sistemas lineales, en los<br />
cuales los elementos del sistema ó circuito no cambian sus parámetros, aunque varíen su tensión<br />
ó corriente.<br />
Se dice que un circuito es lineal, cuando la respuesta aumenta en un factor “K”, cuando la<br />
excitación ha sido aumentada en ese factor “K” (K es real).<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 4<br />
u<br />
u<br />
iL = i = cte<br />
iL<br />
iL
La representación gráfica de las fuentes reales es la de la figura 1.8.<br />
eTH<br />
RTH<br />
Fuente de tensión real<br />
independiente<br />
Figura 1.8 Fuentes reales independientes<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Característica externa de una fuente de tensión real independiente<br />
Sea una fuente de tensión real independiente alimentando una carga como lo muestra la<br />
figura 1.9.<br />
eTH<br />
iL<br />
Figura 1.9 Fuente de tensión real independiente alimentando una carga<br />
La ecuación para el circuito es: u = ETH - RTH .iL De la cual analizaremos dos<br />
puntos característicos:<br />
a) Haciendo un cortocircuito en los terminales de la fuente, o sea u = 0<br />
Figura 1.10 Fuente de tensión real independiente con sus terminales en cortocircuito<br />
i<br />
L<br />
RTH<br />
eTH<br />
i<br />
RTH<br />
CC<br />
e<br />
R<br />
TH<br />
TH<br />
Circuito<br />
Conteniendo<br />
elementos<br />
pasivos<br />
y fuentes<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 5<br />
iL<br />
u<br />
+<br />
-<br />
+<br />
-<br />
u = 0<br />
iN RN<br />
Fuente de corriente real<br />
independiente<br />
-<br />
iCC<br />
Punto (1) de la figura1.12
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
b) Si dejamos abiertos los terminales de la fuente, o sea iL= 0, según la figura 1.11.<br />
Figura 1.11 Fuente de tensión real independiente con sus terminales abiertos<br />
u = eTH Punto (2) de la figura 1.12<br />
Figura 1.12 Característica externa de una fuente de tensión real independiente<br />
1° Cuadrante: La corriente es saliente por el terminal positivo de la fuente, luego la misma<br />
entrega energía al sistema ó circuito.<br />
2° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo (Impuesta por el resto del<br />
circuito), lo cual hace que la fuente absorba energía.<br />
Tomemos como ejemplo el circuito de la figura 1.13<br />
eTH = 10 V<br />
RTH = 3<br />
eTH<br />
RTH<br />
u<br />
eTH<br />
+<br />
30 V<br />
-<br />
2<br />
+<br />
-<br />
u = 40 V<br />
iL = 0<br />
RTH . iL<br />
iL = - 10 A<br />
Figura 1.13 Circuito eléctrico con una fuente de tensión real independiente<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 6<br />
+<br />
-<br />
iCC<br />
u<br />
1<br />
iL<br />
10 A
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
La fuente de corriente impone una corriente de 10 A, en sentido contrario<br />
al adoptado como positivo, con lo cual iL tiene antepuesto el signo negativo.<br />
Este sentido de corriente origina una caída de tensión en la resistencia<br />
interna de la fuente de tensión real de 30 V con la polaridad indicada.<br />
Luego:<br />
u = eTH + RTH iL = 10 + 3. 10 = 40 V<br />
La fuente ideal absorbe: 10 V. 10 A = 100 W:<br />
La fuente también absorbe (se disipa como calor en la resistencia interna):<br />
RTH. i 2<br />
L = 3. 10 2 = 300 W<br />
La potencia absorbida por la fuente real es: 100 + 300 = 400 W<br />
4° Cuadrante: En este caso la fuente absorbe más energía que la que entrega.<br />
Esto sucede en el caso que la corriente impuesta por el resto del circuito<br />
provoque una caída de tensión en la resistencia interna (RTH) de la fuente<br />
que sea mayor que la fuerza electromotriz eTH.<br />
Como ejemplo sea el siguiente circuito de la figura 1.14.<br />
eTH = 10 V<br />
RTH = 3<br />
-<br />
30 V<br />
+<br />
Figura 1.14 Circuito eléctrico con una fuente de tensión real independiente<br />
u = eTH - RTH iL = 10 - 3. 10 = - 20 V<br />
+<br />
La fuente ideal entrega: 10 V. 10 A = 100 W:<br />
-<br />
u = - 20 V<br />
La fuente absorbe (se disipa como calor en la resistencia interna):<br />
RTH. i 2<br />
L = 3. 10 2 = 300 W<br />
La diferencia es una potencia absorbida por la fuente real de:<br />
300 - 100 = 200 W<br />
Característica externa de una fuente de corriente real independiente<br />
Sea el circuito con una fuente de corriente real independiente como la mostrada en la<br />
figura 1.15.<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 7<br />
10 A<br />
10 A
iN<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Figura 1.15 Fuente de corriente real independiente alimentando una carga<br />
Se<br />
cumple :<br />
a) Si se hace un cortocircuito en los terminales de la fuente según se muestra en<br />
la figura 1.16:<br />
iN<br />
L<br />
N<br />
Figura 1.16 Fuente de corriente real independiente con sus bornes en cortocircuito<br />
u = 0 luego i = 0 y iL =iCC = iN Punto (1) de la figura 1.18<br />
b) Si en cambio dejamos el circuito abierto o sea iL = 0<br />
iN<br />
i<br />
i<br />
RN<br />
i<br />
- i<br />
i<br />
+<br />
-<br />
RN<br />
u<br />
Siendo :<br />
i<br />
RN<br />
Figura 1.17 Fuente de corriente real independiente con sus bornes en circuito abierto<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 8<br />
iL<br />
i<br />
R<br />
u<br />
N<br />
iL<br />
u = 0<br />
iL = 0<br />
u<br />
Circuito<br />
Conteniendo<br />
elementos<br />
pasivos<br />
y fuentes<br />
Luego :<br />
+<br />
-<br />
i<br />
iCC<br />
L<br />
i<br />
N<br />
u<br />
-<br />
R<br />
N
Luego: i = iN u = RN . iN Punto (2) de la figura 1.18<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Figura 1 1.18 Característica externa de una fuente de corriente real independiente<br />
1° Cuadrante: La corriente es saliente por el terminal positivo de la fuente, luego la misma<br />
entrega energía al sistema ó circuito.<br />
2° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo (Impuesta por el resto del<br />
circuito), lo cual hace que la fuente absorba energía, según se muestra la<br />
figura 1.19.<br />
10 A<br />
U = RN . iN<br />
Figura 1.19 Circuito eléctrico con una fuente de corriente real independiente<br />
i = iN - iL<br />
u<br />
30 A<br />
2<br />
2<br />
i = 10 – (– 20) = 30 A<br />
u = RN. i = 2. 30 = 60 V<br />
u = 60 V<br />
La fuente de corriente ideal entrega: 10. 60 = 600 W<br />
La resistencia absorbe: 2. 30 2 = 1800 W<br />
+<br />
-<br />
iL = - 20 A<br />
iCC = iN<br />
La fuente real absorbe: 1800 – 600 = 1200 W<br />
4° Cuadrante: En este caso la fuente absorbe energía.<br />
Esto sucede en el caso que la corriente impuesta por el resto del circuito<br />
sea tal que la caída de tensión en la resistencia interna (RN) de la fuente<br />
origine una polaridad en la cual el borne superior sea negativo y el inferior<br />
positivo, lo cual hace que la corriente salga por el terminal negativo.<br />
Como ejemplo sea el circuito de la figura 1.20.<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 9<br />
1<br />
iL<br />
20 A
Figura 1.20 Circuito eléctrico con una fuente de corriente real independiente<br />
i = 10 - 20 = - 10 A<br />
u = RN .i = 2. (- 10) = - 20 V<br />
La fuente de corriente ideal absorbe: 10. 20 = 200 W<br />
La resistencia absorbe: 2. 10 2 = 200 W<br />
La fuente real absorbe: 200 + 200 = 400 W<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Equivalencia entre fuentes reales de energía<br />
Una fuente de tensión y una fuente de corriente son equivalentes cuando lo sean sus<br />
características exteriores (desde sus bornes hacia afuera)<br />
Dados los gráficos analizados de las fuentes ideales se llega a la conclusión que dichas<br />
fuentes no pueden ser equivalentes, ya que sus características exteriores no se pueden<br />
superponer.<br />
En cambio las fuentes reales, presentan una característica semejante, ó sea que buscando<br />
los parámetros adecuados se puede reemplazar una fuente por otra. Esta equivalencia es en<br />
cuanto a sus características externas, ya que las fuentes no son iguales, debido a que<br />
interiormente los fenómenos energéticos son distintos.<br />
eTH<br />
RTH<br />
10 A<br />
+<br />
-<br />
A<br />
u<br />
B<br />
-<br />
2<br />
+<br />
10 A<br />
+<br />
-<br />
IL = 20 A<br />
u = – 20 V<br />
EQUIVALE A:<br />
Figura 1.21 equivalencia entre fuentes reales<br />
iN RN<br />
Para que las fuentes sean equivalentes se debe cumplir:<br />
a) Si cortocircuitamos los terminales de las fuentes ó sea u = 0<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 10<br />
20 A<br />
+<br />
-<br />
A<br />
u<br />
B
En la fuente de tensión real :<br />
En la fuente de corriente real: icc = iN<br />
Internamente los fenómenos energéticos son:<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Por lo tanto:<br />
En la fuente de tensión real la resistencia interna produce el<br />
siguiente valor de pérdidas por calor: p = RTH . i 2<br />
CC<br />
En la fuente de corriente real por la resistencia interna no circula<br />
corriente por lo que no se desarrollan pérdidas.<br />
b) Si dejamos abiertos los terminales de las fuentes ó sea: iL = 0<br />
En la fuente de tensión real: u = eTH<br />
En la fuente de corriente real: u = RN . iN Por lo tanto:<br />
R u<br />
N<br />
i<br />
N<br />
Internamente los fenómenos energéticos son:<br />
En la fuente de tensión real al no haber circulación de corriente no hay<br />
pérdidas.<br />
En la fuente de corriente real: p = RN. i 2<br />
N<br />
En la figura 1.22 observamos las características externas superpuestas de las fuentes de<br />
tensión y corriente reales equivalentes.<br />
u<br />
e<br />
i<br />
TH<br />
N<br />
e<br />
i<br />
Figura 1.22 Características externas superpuestas de las fuentes reales<br />
de tensión y corriente independientes<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 11<br />
i<br />
N<br />
TH<br />
CC<br />
eTH = RN . iN<br />
e<br />
R<br />
TH<br />
TH<br />
e<br />
TH<br />
CC<br />
RTH<br />
i<br />
R<br />
iCC = iN<br />
N<br />
R<br />
TH<br />
iL
1.3.2 Fuente de tensión ideal dependiente ó controlada<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Es una fuente en la cual la tensión en sus terminales, está determinada por el valor de la<br />
corriente ó la tensión en otra parte del circuito. Su símbolo gráfico es el mostrado en la figura 1.23.<br />
K1 .UX<br />
K2 .IX<br />
Fuente de tensión controlada por tensión<br />
K1 Adimensional<br />
Fuente de tensión controlada por corriente<br />
K2: Volt/Amper [ ]<br />
Figura 1.23 Fuentes de tensión controladas o dependientes<br />
1.3.3 Fuente de corriente ideal dependiente ó controlada<br />
Es una fuente la cual la corriente que suministra está determinada por la corriente ó la<br />
tensión en otra parte del circuito. Su símbolo gráfico es el mostrado en la figura 1.24.<br />
K3 .UX<br />
K4 .IX<br />
Fuente de corriente controlada por tensión<br />
K3: Amper/Volt [s]<br />
Fuente de corriente controlada por corriente<br />
K4: Adimensional<br />
Figura 1.24 Fuentes de corriente controladas o dependientes<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 12
1.4 Agrupamiento de resistencias (Dipolos pasivos)<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Agrupamiento en serie<br />
La conexión de resistencias como muestra la figura 1.25, se denomina en serie:<br />
+<br />
Figura 1.25 Agrupamiento de resistencias en serie<br />
De acuerdo al esquema, la corriente que circula por las resistencias es la misma. Por lo<br />
tanto la caída de tensión total es la suma de las caídas de tensión en cada resistencia.<br />
u = u1 + u2 + ……..+ uN = i R1 + i R2 + ……..+ i RN<br />
u = i (R1 + R2 + ……+ RN)<br />
O sea que la resistencia equivalente del conjunto es la suma de las resistencias parciales.<br />
RS = REQUIVALENTE = Ri = R1 + R2 + …….+ RN<br />
Agrupamiento en paralelo<br />
En este caso la caída de tensión aplicada en todas las resistencias es la misma, como<br />
puede observarse en la figura 1.26<br />
i<br />
i<br />
i<br />
u<br />
i<br />
1<br />
+<br />
-<br />
u (<br />
Figura 1.26 Agrupamiento de resistencias en paralelo<br />
i<br />
1<br />
R<br />
2<br />
1<br />
R1 R2 RN<br />
u1 u2 uN<br />
i<br />
i1<br />
R<br />
1<br />
2<br />
i<br />
N<br />
i2<br />
iN<br />
R1 R2 RN<br />
u<br />
R<br />
1<br />
1<br />
R<br />
1<br />
N<br />
)<br />
u<br />
R<br />
2<br />
2<br />
u<br />
R<br />
P<br />
u<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 13<br />
u<br />
R<br />
N<br />
N<br />
-
R<br />
1<br />
P<br />
1<br />
R<br />
1<br />
R<br />
1<br />
2<br />
R<br />
Donde G: Conductancia [S]<br />
1.5 Leyes de KIRCHHOFF<br />
1<br />
N<br />
1<br />
R<br />
i<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 14<br />
G<br />
i<br />
Primera Ley de Kirchhoff (Ley de la suma de corrientes en un nodo)<br />
En todo circuito o red de conductores, la suma algebraica de las corrientes que concurren<br />
a un nodo es igual a cero. Generalizando podemos decir que la suma algebraica de las corrientes<br />
que concurren a un recinto cerrado es igual a cero.<br />
i1<br />
i3<br />
Nodo<br />
Recinto<br />
cerrado<br />
i2 i1<br />
i2<br />
i4<br />
i = 0<br />
- i1 + i2 + i3 – i4 = 0 - i1 + i2 + i3 – i4 = 0<br />
Para los cálculos a realizar hemos adoptado la convención mostrada en la figura 1.29.<br />
Corriente entrante (-)<br />
i<br />
+ R -<br />
Nodo ó<br />
Recinto cerrado<br />
Figura 1.29 Convención de signos para el sentido de las corrientes<br />
i3<br />
Corriente saliente (+)<br />
Corriente saliente (+)<br />
El sentido de la corriente en la resistencia es desde el<br />
punto de mayor potencial al de menor potencial<br />
(concuerda con la caída de tensión en los bornes)<br />
i4
10 A<br />
Sea el circuito de la figura 1.30.<br />
i1<br />
Figura 1.30 Circuito de ejemplo<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Ejemplo numérico<br />
Asignándole potencial cero al nodo inferior y “u” al superior, la suma de las corrientes en<br />
este último será:<br />
i 1<br />
10<br />
10<br />
10<br />
16,33<br />
i 2<br />
i 3<br />
u<br />
25<br />
u<br />
25<br />
u<br />
25<br />
100<br />
10<br />
u -100<br />
10<br />
u<br />
25<br />
15<br />
10<br />
15<br />
3<br />
u 0,3067<br />
10<br />
u<br />
u<br />
10<br />
i2<br />
10<br />
53,26<br />
25<br />
100<br />
100<br />
10<br />
u<br />
u<br />
0<br />
15<br />
u<br />
15<br />
10<br />
1<br />
25<br />
2,13 A<br />
53,26 -100<br />
10<br />
53,26<br />
15<br />
10<br />
10<br />
15<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 15<br />
3<br />
1<br />
10<br />
u<br />
3<br />
1<br />
15<br />
4,674 A<br />
4,217 A<br />
i4 = u .0,1 = 53,26 . 0,1 = 5,326 A<br />
u<br />
+<br />
-<br />
10<br />
100 V 15<br />
Sumando las corrientes en el nodo:<br />
0,1<br />
u<br />
0<br />
0,1<br />
0,1<br />
- 10 + 2,130 - 4,674 + 4,217 + 3 + 5,326 = 0<br />
i3<br />
-<br />
+<br />
10 V<br />
Indica que a dicho punto se le asigna un<br />
potencial de referencia de 0 Volts<br />
0<br />
0<br />
u = 53,26 V<br />
3 A<br />
i4<br />
0,1 S
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Segunda Ley de Kirchhoff (Ley de la suma de tensiones en un circuito cerrado)<br />
En todo circuito cerrado la suma algebraica de las fuerzas electromotrices es igual a la<br />
suma algebraica de las caídas de tensión en las resistencias.<br />
Adoptaremos la siguiente convención de signos:<br />
Le asignamos un sentido a la corriente arbitrario, con lo cual las caídas de<br />
tensión en las resistencias toman polaridad positiva en los terminales en los cuales<br />
la corriente es entrante.<br />
Se adopta un sentido de circulación arbitrario. En nuestro caso adoptaremos un<br />
sentido de circulación horario.<br />
Sobre la base de estas premisas adoptaremos como positivas las fuerzas<br />
electromotrices y caídas de tensión cuando nos encontremos con la polaridad<br />
positiva (+) en el terminal por el cual entramos, cuando estamos efectuando la<br />
circulación.<br />
Si en los resultados nos aparece un signo menos (-), nos indica que el sentido real<br />
de la corriente es contrario al adoptado.<br />
Consideremos el circuito de la figura 1.31.<br />
Será:<br />
10<br />
100 V<br />
5<br />
+<br />
-<br />
-<br />
R2<br />
+<br />
-<br />
R1<br />
+<br />
E1<br />
i<br />
20 V<br />
-<br />
+<br />
E2<br />
Sentido de<br />
la corriente<br />
adoptado como<br />
positivo<br />
15<br />
70 V<br />
8<br />
+ -<br />
+ -<br />
+<br />
R3<br />
Sentido de<br />
circulación<br />
Figura 1.31 Circuito de ejemplo<br />
i. R1 - E1 + i. R2 + E2 + i. R3 - E3 + i. R4 + i. R5 = 0<br />
- E1 + E2 - E3 + i (R1 + R2 + R3 + R4 + R5) = 0<br />
Ejemplo numérico<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 16<br />
E3<br />
R4<br />
-<br />
+<br />
R5<br />
-<br />
12
i<br />
i<br />
R<br />
5<br />
1<br />
E<br />
R<br />
1<br />
2<br />
E<br />
R<br />
2<br />
3<br />
E<br />
R<br />
3<br />
4<br />
100 20 70<br />
10 15 8 12<br />
R<br />
5<br />
1A<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
1.6 Resolución de circuitos por medio de las corrientes auxiliares de<br />
malla (Método de las mallas)<br />
En todo circuito eléctrico ramificado encontramos un cierto número de ramas, nodos y<br />
mallas.<br />
Llamamos Rama de un esquema eléctrico, aquella parte que vincula dos nodos. Consta de<br />
elementos conectados en serie (Fuentes y resistencias).<br />
Llamamos nodo de un esquema eléctrico el punto en el cual concurren por lo menos tres<br />
ramas. Cabe aclarar que nodo también es el punto al cual concurren solo dos ramas, pero el<br />
mismo no agrega nada a la resolución de circuitos.<br />
Llamamos malla a todo circuito elemental cerrado que no encierra a otros circuitos.<br />
Llamamos lazo o supermalla a un circuito cerrado que encierra a dos ó más mallas.<br />
Resolver un circuito implica determinar las tensiones de los nodos y las corrientes de las<br />
ramas. El método que analizaremos se basa en la segunda Ley de Kirchhoff.<br />
Sea el circuito de la figura 1.32.<br />
E2<br />
A<br />
R2<br />
_<br />
+<br />
IOA<br />
IAC<br />
I2<br />
R3<br />
R1<br />
Figura 1.32 Circuito de análisis<br />
En dicho circuito existen tres mallas, cuyas corrientes denominaremos I1 – I2 – I3, y de<br />
acuerdo a las convenciones utilizadas, se cumple:<br />
IAC = I1 IAB = I2 – I1 IBC = I3 – I1<br />
IOA = I2 IBO = I2 – I3 ICO = I3<br />
I1<br />
B<br />
Se observa que las corrientes de las ramas externas, coinciden con lo que denominamos<br />
corrientes de malla. Apliquemos la segunda ley de Kirchhoff en cada malla y nos queda:<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 17<br />
R5<br />
IBO<br />
O<br />
E1<br />
_ +<br />
R4<br />
IAB IBC<br />
I3<br />
ICO<br />
+ _<br />
C<br />
R6<br />
E3
Malla 1: R1. IAC – E1 – R4. IBC – R3. IAB = 0<br />
Malla 2: R3. IAB + R5. IBO + E2 + R2. IOA = 0<br />
Malla 3: R4. IBC + E3 + R6. ICO – R5. IBO = 0<br />
Reemplazando las corrientes de rama por las de malla:<br />
Agrupando:<br />
Malla 1: R1. I1 – E1 – R4. (I3 – I1) – R3. (I2 – I1) = 0<br />
Malla 2: R3. (I2 – I1) + R5. (I2 – I3) + E2 – R2. I2 = 0<br />
Malla 3: R4. (I3 – I1) + E3 + R6. I3 – R5 (I2 – I3) = 0<br />
Malla 1: (R1+ R3 + R4) I1 – R3. I2 – R4. I3 = E1<br />
Malla 2: - R3. I1 + (R2 + R3 + R5). I2 – R5. I3 = - E2<br />
Malla 3: - R4. I1 – R5. I2 + (R4 + R5 + R6). I3 = - E3<br />
Presentándolo en forma matricial, nos queda:<br />
(R1+ R3 + R4) – R3 – R4. I1 E1<br />
- R3 (R2 + R3 + R5) – R5 . I2 = - E2<br />
- R4. – R5 (R4 + R5 + R6) I3 - E3<br />
En forma genérica para “n” mallas, la forma sería:<br />
R11 – R12 - …… – R1n. I1 E1<br />
- R21 R22 - ....... – R2n . I2 = E2<br />
……………………………….. .. ..<br />
- Rn1. – Rn2. - …… Rnn In En<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Las resistencias que tienen los dos subíndices iguales, se llaman resistencia propia de la<br />
malla, y es la suma de las resistencias que se encuentran al recorrer la malla mencionada.<br />
Las resistencias que tienen los dos subíndices distintos, se llaman resistencias comunes a<br />
ambas mallas.<br />
La columna de las fuerzas electromotrices, son las de malla y su valor se obtiene como la<br />
suma de las fuerzas electromotrices que se encuentran al recorrer la malla, con signo positivo<br />
si se pasa de menor a mayor potencial y negativo en caso contrario.<br />
Pasemos a resolver el siguiente ejemplo:<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 18
I2<br />
42 V<br />
+<br />
-<br />
-<br />
3 +<br />
El número de mallas está dado por: M = R - (N - 1)<br />
Donde: M: Número de mallas<br />
R: Número de ramas<br />
N: Número de nodos<br />
M = 3 - (2 - 1) = 2<br />
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a cada malla:<br />
Malla 1: – 42 + 6. IA + 3 (I1 – I2) = 0<br />
Malla 2: – 10 + 3 (I2 – I1) + 4 I2 = 0 Desarrollando este nos queda:<br />
Malla 1: 9 I1 – 3 I2 = 42<br />
Malla 2: – 3 I1 + 7 I2 = 10 Resolviendo el sistema:<br />
I1 = 6 A<br />
I2 = 4 A<br />
IOA = I1 = 6 A<br />
IAO = I1 – I2 = 6 - 4 = 2 A<br />
IAOF = I2 = 4 A<br />
u = 3. IAO = 3. 2 = 6 V<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Indeterminación en mallas. Supermalla.<br />
Cuando una fuente de corriente (ideal independiente o controlada), está presente una de<br />
las ramas del circuito, nos queda indeterminada la caída de tensión en bornes de dicha fuente, ya<br />
que la misma depende del resto del circuito.<br />
Para resolver el circuito se hace una especie de supermalla, a partir de dos mallas que<br />
tengan como elemento común dicha fuente de corriente, estando la misma dentro de la<br />
supermalla.<br />
Veamos el ejemplo de la figura 1.33.<br />
6 A<br />
4<br />
I1<br />
IOA IAO<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 19<br />
O<br />
IAOF<br />
10 V
A<br />
Figura 1.33 Circuito de análisis<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
En este circuito tenemos 3 mallas que denominamos A, B y C, pero observamos que en la<br />
rama entre las mallas A y B se encuentra una fuente de corriente, lo que nos obliga a formar una<br />
supermalla, que es la que presenta el recorrido: 0 - Resistencia de 4 - A - Fuente de 7 V- C –<br />
Fuente de 12 V - Resistencia de 5 - 0.<br />
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff nos queda:<br />
Supermalla: 4. I2 – 7 + 12 + 5. I3 = 0<br />
Malla 3: 12 + 5. I3 + 3 (I3 – I2) + 2 (I3 – I1) = 0<br />
Rama A-B I1 – I2 = 7 La corriente de la fuente<br />
Agrupando:<br />
I1 = 6,08 A I2 = - 0,92 A I3 = - 0,26 A<br />
IAC = I1 = 6,08 A<br />
IBA = 7 A<br />
ICB = I1 – I3 = 6,08 – (– 0,26) = 6,34 A<br />
I0A = I2 = – 0,92 A<br />
IOB = I3 – I2 = (– 0,26) – (– 0,92) = 0,66 A<br />
ICD = I3 = – 0,26 A<br />
4. I2 + 5. I3 = – 5<br />
– 2 I1 – 3. I2 + 10. I3 = – 12<br />
I1 – I2 = 7<br />
uA - u0 = uA = – 4 . I0A = – 4. (– 0,92) = 3,68 V<br />
uB - u0 = uB = – 3 . I0B = – 3. 0,66 = – 1,98 V<br />
4<br />
Resolviendo este sistema:<br />
uC - u0 = uC = uA + 7 = 10,68 V<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 20<br />
7 V<br />
- +<br />
7 A<br />
1 B<br />
2<br />
I0A<br />
IAC<br />
I2<br />
IBA<br />
I0B<br />
3<br />
I1<br />
0<br />
ICB<br />
5<br />
I3<br />
IC0<br />
+<br />
-<br />
C<br />
12 V
La tensión sobre la fuente de corriente será:<br />
uA – uB + 1 . 7 = 3,68 – (– 1,98) + 7 = 12,66 V<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Procederemos a volcar los resultados en lo que llamaremos diagrama del circuito, en el cual<br />
dibujamos con trazos las ramas sin colocar ningún elemento activo ó pasivo, e indicando los<br />
valores de corrientes y tensiones con sus signos reales, según se muestra en la figura 1.34.<br />
1.6.1 Balance energético<br />
- 1,98 V<br />
3,68 V 10,68 V<br />
7 A<br />
6,34 A<br />
Figura 1.34 Diagrama del circuito<br />
Para efectuar el balance de la energía puesta en juego en el circuito adoptaremos la<br />
convención indicada en la figura 1.35.<br />
u i<br />
u i<br />
6,08 A<br />
0,92 A 0,66 A<br />
0,26 A<br />
i u<br />
Figura 1.35 Convenciones a utilizar en el balance energético<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 21<br />
+<br />
-<br />
i u<br />
u u<br />
+ - -<br />
+<br />
R R<br />
i i<br />
-<br />
+<br />
Suministran energía<br />
Absorben energía<br />
Absorben energía
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Haremos el balance energético para el ejercicio anterior el cual resumiremos en un cuadro:<br />
Referencia<br />
Potencia [W]<br />
Entregada Absorbida<br />
Cálculo<br />
Fuente de tensión [7 V] 42,56 --- E .i1 = 7. 6,08<br />
Fuente de corriente 88,62 --- ufuente . i2 = 12,66. 7<br />
Fuente de tensión [12 V] 3,12 --- 12 .i6 = 12. 0,26<br />
Resistencia 1 --- 49,00 R. i 2<br />
2 = 1. 7 2<br />
Resistencia 2 --- 80,39 R. i 2<br />
3 = 2. 6,34 2<br />
Resistencia 3 --- 1,31 R. i 2<br />
5 = 3. 0,66 2<br />
Resistencia 4 --- 3,39 R. i 2<br />
4 = 4. 0,92 2<br />
Resistencia 5 --- 0,34 R. i 2<br />
6 = 5. 0,26 2<br />
Totales 134,30 134,43<br />
La diferencia entre las<br />
columnas se debe a las<br />
aproximaciones<br />
1.7 Resolución de circuitos mediante los potenciales de nodos (Método<br />
de los nodos)<br />
Mediante este método se determinan las tensiones de los nodos y luego las corrientes de<br />
cada rama. Se basa en la primera Ley de Kirchhoff.<br />
Analicemos el mismo circuito que utilizamos para el método de las mallas, el cual tiene<br />
cuatro nodos, A uno de ellos le asignaremos potencial “cero”, con lo cual solamente necesitaremos<br />
plantear tres ecuaciones, para obtener los potenciales de los nodos “A”, “B” y “C”.<br />
E2<br />
A<br />
R2<br />
_<br />
+<br />
IAC<br />
IAO<br />
R1<br />
R3 R4<br />
IBO<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 22<br />
B<br />
IAB IBA<br />
IBC<br />
R5<br />
O<br />
E1<br />
_ +<br />
ICB<br />
ICO<br />
ICA<br />
+ _<br />
C<br />
R6<br />
E3
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Supondremos siempre que el potencial del nodo considerado, es más positivo que el<br />
resto, con lo cual las corrientes en las resistencias son salientes del nodo. Aplicando la primera<br />
Ley de Kirchhoff obtenemos:<br />
Nodo A: IAC + IAB + IAO = 0<br />
Nodo B: IBA + IBC + IBO = 0<br />
Nodo C: ICA + ICO + ICB = 0<br />
Con asignado a las corrientes el valor de las mismas surge de:<br />
I<br />
I<br />
I<br />
AC<br />
BA<br />
CB<br />
u<br />
u<br />
u<br />
A<br />
B<br />
C<br />
R<br />
R<br />
3<br />
4<br />
u<br />
R<br />
u<br />
u<br />
C<br />
A<br />
B<br />
1<br />
E<br />
1<br />
I<br />
I<br />
AB<br />
BC<br />
CA<br />
Reemplazando en cada nodo nos queda:<br />
Nodo A:<br />
Nodo B:<br />
Nodo C:<br />
Agrupando:<br />
Nodo A:<br />
u<br />
u<br />
u<br />
A<br />
B<br />
C<br />
R<br />
R<br />
1<br />
R<br />
1<br />
3<br />
4<br />
u<br />
R<br />
u<br />
u<br />
C<br />
A<br />
B<br />
1<br />
1<br />
R<br />
+<br />
E<br />
u<br />
u<br />
+<br />
2<br />
1<br />
B<br />
C<br />
+<br />
R<br />
1<br />
R<br />
4<br />
I<br />
u<br />
u<br />
R<br />
u<br />
C<br />
A<br />
1<br />
A<br />
R<br />
3<br />
u<br />
u<br />
u<br />
u<br />
A<br />
B<br />
B<br />
C<br />
R<br />
R<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 23<br />
3<br />
4<br />
u<br />
u<br />
u<br />
B<br />
C<br />
R<br />
A<br />
1<br />
2<br />
E<br />
u A E<br />
+<br />
R<br />
u B<br />
+ = 0<br />
R<br />
E<br />
1<br />
5<br />
+<br />
u<br />
C<br />
R<br />
6<br />
E<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= 0<br />
= 0<br />
1 1 1 1 1<br />
Nodo B: uA<br />
uB<br />
uC<br />
0<br />
R R R R R<br />
Nodo C:<br />
3<br />
1<br />
R<br />
1<br />
u<br />
A<br />
1<br />
R<br />
4<br />
3<br />
3<br />
u<br />
B<br />
u<br />
A<br />
4<br />
1<br />
R<br />
1<br />
R<br />
1<br />
3<br />
5<br />
u<br />
B<br />
1<br />
R<br />
1<br />
R<br />
1<br />
u<br />
4<br />
C<br />
-<br />
E<br />
R<br />
1<br />
1<br />
E<br />
R<br />
I<br />
AO<br />
u<br />
u<br />
A<br />
B<br />
BO<br />
R 5<br />
Si trabajamos con las inversas de las resistencias o sea con lo que denominamos<br />
conductancias, las ecuaciones en forma matricial nos queda:<br />
4<br />
1<br />
R<br />
6<br />
u<br />
C<br />
E<br />
R<br />
1<br />
1<br />
I<br />
I<br />
2<br />
2<br />
E<br />
R<br />
CO<br />
3<br />
6<br />
u<br />
C<br />
R<br />
R<br />
2<br />
6<br />
E<br />
E<br />
2<br />
3
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
(G1+ G2 + G3) – G3 – G1. uA - G1. E1 – G2. E2<br />
- G3 (G3 + G4 + G5) – G4 . uB = 0<br />
- G1. – G4 (G1 + G4 + G6) uC G1. E1 + G6. E3<br />
En forma genérica para “N” nodos, la forma sería:<br />
GAA – GAB - …… – GAN. uA Σ GA. EA + Σ IA<br />
- GBA GBB - ....... – GBN . uB = Σ GB. EB + Σ IB<br />
……………………………….. .. ………………….<br />
- GNA. – GNB. - …… GNN uN<br />
Σ GN. EN + Σ IN<br />
Las conductancias que tienen los dos subíndices iguales, representa la suma de las<br />
conductancias de las ramas que concurren a ese nodo.<br />
Las conductancias que tienen los dos subíndices distintos, es la suma de las conductancias de<br />
las ramas que unen dichos nodos.<br />
El segundo miembro de cada una de las ecuaciones contiene la suma algebraica de los<br />
productos de la fuerzas electromotrices por las conductancias correspondientes a todas las<br />
ramas que concurren a ese nodo, con signo positivo si originan corriente entrante a ese nodo y<br />
a esto se le deben sumar las corrientes que puedan originar fuentes de corriente.<br />
Analicemos como ejemplo el circuito de la figura 1.36.<br />
Figura 1.36 Circuito de análisis<br />
Este circuito tiene dos nodos y cuatro ramas.<br />
A uno de los nodos lo tomaremos como referencia, y le asignaremos potencial cero, por lo<br />
tanto se necesita una sola ecuación para resolver el circuito, ya que la incógnita es el potencial “u”.<br />
Supondremos siempre que el potencial del nodo considerado (El superior en este análisis)<br />
es más positivo con lo cual las corrientes en las resistencias son salientes del nodo. Aplicando la<br />
primera Ley de Kirchhoff obtenemos:<br />
– 120 + u. 30 + 30 + u. 15 = 0<br />
u<br />
120 A<br />
120 30<br />
30 15<br />
2 V<br />
i1<br />
u<br />
30 s<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 24<br />
30 A<br />
i2<br />
15 s
Al obtener un resultado positivo nos indica que el sentido asignado es correcto.<br />
i1 = u. G1 = 2. 30 = 60 A<br />
i2 = u. G2 = 2. 15 = 30 A<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Supernodo<br />
Cuando en una de las ramas del circuito aparece una fuente de tensión ideal independiente<br />
o controlada, la corriente que circula por la misma, depende del resto del circuito lo cual, hace que<br />
no podamos calcular la misma en forma directa.<br />
Para solucionar esto, se agrupan los nodos entre los cuales se encuentra la mencionada<br />
fuente, y se forma lo que llamaremos un supernodo.<br />
Analizaremos el circuito de la figura 1.37.<br />
4 S<br />
A<br />
8 A<br />
3 A<br />
3 S<br />
IAB<br />
Figura 1.37 Circuito de análisis<br />
Nodo A: 3 (uA – uB) + 3 + 4 (uA – uC) + 8 = 0<br />
Supernodo B-C: 3 (uB – uA) – 3 + 4 (uC – uA) – 25 + 5 uC + 1 uB = 0<br />
Agrupando nos queda:<br />
1 S<br />
7 uA – 3 uB – 4 uC = – 11<br />
– 7 uA + 4 uB + 9 uC = 28<br />
La ecuación restante es: uC – uB = 22 V<br />
Resolviendo el sistema obtenemos: uA = – 4,50 V<br />
uB = – 15,50 V<br />
uC = 6,50 V<br />
Las corrientes son: IAB = 3 (uA - uB) = 3 (– 4,50 + 15,50) = 33 A<br />
B<br />
IB0<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 25<br />
IBC<br />
IAC<br />
22 V<br />
-<br />
+<br />
5 S<br />
C<br />
IC0<br />
25 A
IAC = 4 (uA - uC) = 4 (– 4,50 – 6,50) = – 44 A<br />
IB0 = 1 uB = 1. (– 15,50) = – 15,50 A<br />
IC0 = 5 uC = 5. 6,50 = 32,50 A<br />
El diagrama del circuito es el de la figura 1.38.<br />
IBC = IAB – IB0 + 3 = 33 – (– 15,50) + 3 = 51,50 A<br />
- 4,50 V - 15,50 V 6,50 V<br />
8 A<br />
El balance energético será:<br />
Referencia<br />
3 A<br />
33 A<br />
44 A<br />
Figura 1.38 Diagrama del circuito<br />
Potencia [W]<br />
51,50 A<br />
15,50 A 32,50 A 25 A<br />
Entregada Absorbida<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Cálculo<br />
Fuente de tensión 1133,00 --- E .i5 = 22. 51,5<br />
Fuente de corriente de 3 A --- 33 3(uB - uA)=3(-15,5+4,5)<br />
Fuente de corriente de 8 A 36,00 --- 8 (- uA) = 8 . 4,50<br />
Fuente de corriente de 25 A 162,50 --- 25 .uC = 25. 6,50<br />
Conductancia 1 s --- 240,25 i 2<br />
3/G1 = 15,5 2 /1<br />
Conductancia 3 s --- 363,00 i 2<br />
1/G3 = 33 2 /3<br />
Conductancia 4 s --- 484,00 i 2<br />
2/G4 = 44 2 /4<br />
Conductancia 5 s --- 211,25 i 2<br />
4/G5 = 32,5 2 /5<br />
Totales 1331,50 1331,50<br />
La diferencia que<br />
pueda haber entre<br />
las columnas se<br />
debe a las aproximaciones<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 26
1.7 <strong>Circuitos</strong> con fuentes controladas<br />
CIRCUITOS ELECTRICOS<br />
Tomemos como ejemplo el circuito de la figura 1.39, el cual planteamos la resolución por el<br />
método de los nodos:<br />
Figura 1.39 Circuito con fuente controlada<br />
u<br />
42<br />
6<br />
u 9<br />
3<br />
De la ecuación en el nodo “u”, nos queda:<br />
u<br />
u(<br />
1<br />
6<br />
2,5)<br />
1<br />
3<br />
3<br />
7<br />
3<br />
42<br />
6<br />
9<br />
3<br />
u 42<br />
i 1<br />
7,27 A<br />
6<br />
i2 = - 3. u = 4,8 A<br />
u<br />
6 u 3<br />
42 V +<br />
-<br />
3 u<br />
-<br />
+<br />
i1 i2<br />
i3 = 2,47 A<br />
3<br />
9<br />
0<br />
Ing. Julio Álvarez 07/10 27<br />
u<br />
3<br />
u<br />
0<br />
1,6 V<br />
i3<br />
9 V