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Se deriva parcialmente respecto a cada β i , se iguala a cero cada ecuación, y se resuelve simultáneamente el sistema de ecuaciones que se acostumbra llamar “ecuaciones normales”. En forma matricial las ecuaciones normales quedan expresadas de la siguiente manera. ∑ ∑ ∑ ⎛ n X1 X2 ... Xk⎞ B ⎛ Y ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 0 ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎜∑X1 ∑X X 1 ∑X 1 2 ... ∑X X ⎟ ⎜ ⎟ 1 k B ⎜ XY 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ∑ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜∑X2 ∑XX 1 2 ∑X2 ... ∑XX 2 k ⎟⋅ ⎜B⎟ 2 = ⎜∑XY 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ∑Xk ∑X1Xk ∑X2Xk... ∑X ⎟ ⎜B⎟ ⎜ k ⎟ ⎝ k ⎠ ⎜ XY⎟ k ⎝ ⎠ ⎝∑⎠ En forma reducida: ( ) Cuya solución es: ( ) 1 − X'Xβ = XY ' ecuación (7) Bˆ = X'XXY ' ecuación (8) El procedimiento matricial para obtener el sistema de ecuaciones normales es: Y = Xβ+ E ( ) ( ) E = Y − Xβ ⇒ Q=E'E= Y − Xβ ' Y − Xβ Q= YY ' −β'XY ' '− Y'Xβ + β'X'Xβ = YY ' − 2Y'Xβ + β'X'Xβ ∴∂Q/ ∂ β = 0− 2XY ' + 2X'Xβ = 0 ecuación (9) ⇒ X'X β =X'Y Ecuaciones Normales ∑ 56
4.3.1 Propiedades de los estimadores. Propiedad 1.- (Insesgamiento). Un estimador es insesgado cuando el valor esperado del estadístico es igual al valor del parámetro. El valor esperado o esperanza del estadístico es la media de la distribución muestral del estadístico. E(B) ˆ = β Esto es E(B ˆ ) Propiedad 2.- ( ) 1 2 = β i = 0, 1,..., k ecuación (10) i i − Var(B) ˆ = X ' X σ = 2 ⎛σ ˆ σ ˆ ˆ σ ˆ ˆ⎞ β0 ββ 0 1 ββ 0 k ⎜ ⎟ ⎜ 2 σ ˆ σ ⎟ β ˆ ˆ C 1 ββ = ⎜ 0 k ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 σ ⎟ ⎝ βk ⎠ 2 Propiedad 3.- Si Y ∼ N( µ y / X1,..., Xn, σ ) 2 ( ˆ ) ⇒ B ˆ ∼ N β , σ i i Bi Propiedad 4.-La correlación entre Y y ˆ Y r ∑ ( Y −Yˆ)( Yˆ−Y) = ⎡ ( Y −Yˆ) ( Yˆ−Y ⎤ ⎢∑ ∑ ) ⎣ ⎥⎦ YY , ˆ 1 2 2 2 En el sentido de que para cualquier otra Y * se tiene que r ≥ r YY , ˆ YY , * Estimador de 2 σ 57 es máxima ecuación (11) 2 de el cual es insesgado sí y solo sí el modelo de RLM propuesto es correcto σ esta dado por. y de la matriz de Varianza – Covarianza. Un estimador
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4.3.1 Propiedades de los estimadores.<br />
Propiedad 1.- (Insesgamiento). Un estimador es insesgado cuando el valor<br />
esperado del estadístico es igual al valor del parámetro. El valor esperado o<br />
esperanza del estadístico es la media de la distribución muestral del<br />
estadístico.<br />
E(B) ˆ = β Esto es E(B ˆ )<br />
Propiedad 2.- ( ) 1 2<br />
= β i = 0, 1,..., k ecuación (10)<br />
i i<br />
−<br />
Var(B) ˆ = X ' X σ =<br />
2<br />
⎛σ ˆ σ ˆ ˆ σ ˆ ˆ⎞<br />
β0 ββ<br />
0 1 ββ 0 k<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 2<br />
σ ˆ σ ⎟<br />
β ˆ ˆ<br />
C<br />
1 ββ<br />
= ⎜ 0 k ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 2<br />
σ ⎟<br />
⎝<br />
βk<br />
⎠<br />
2<br />
Propiedad 3.- Si Y ∼ N( µ y / X1,..., Xn,<br />
σ )<br />
2 ( ˆ )<br />
⇒ B ˆ ∼ N β , σ<br />
i i Bi<br />
Propiedad 4.-La correlación entre Y y ˆ<br />
Y<br />
r<br />
∑<br />
( Y −Yˆ)( Yˆ−Y) =<br />
⎡ ( Y −Yˆ) ( Yˆ−Y ⎤<br />
⎢∑ ∑ )<br />
⎣ ⎥⎦<br />
YY , ˆ 1<br />
2 2 2<br />
En el sentido de que para cualquier otra Y * se tiene que<br />
r ≥ r<br />
YY , ˆ YY , *<br />
Estimador de<br />
2<br />
σ<br />
57<br />
es máxima ecuación (11)<br />
2<br />
de el cual es insesgado sí y solo sí el modelo de RLM propuesto es correcto<br />
σ<br />
esta dado por.<br />
y de la matriz de Varianza – Covarianza. Un estimador
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