Ver/Abrir - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional
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Se deriva parcialmente respecto a cada β i , se iguala a cero cada<br />
ecuación, y se resuelve simultáneamente el sistema de ecuaciones que se<br />
acostumbra llamar “ecuaciones normales”. En forma matricial las ecuaciones<br />
normales quedan expresadas de la siguiente manera.<br />
∑ ∑ ∑<br />
⎛ n X1 X2 ... Xk⎞<br />
B<br />
⎛ Y ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎛ 0 ⎞<br />
2<br />
⎜ ⎟<br />
⎜∑X1 ∑X X<br />
1 ∑X 1 2 ... ∑X<br />
X ⎟ ⎜ ⎟<br />
1 k B ⎜ XY 1 ⎟<br />
⎜ 1 ⎟ ∑<br />
⎜ ⎟<br />
2<br />
⎜ ⎟<br />
⎜∑X2 ∑XX 1 2 ∑X2 ... ∑XX<br />
2 k ⎟⋅ ⎜B⎟ 2 = ⎜∑XY 2 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ <br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 2<br />
∑Xk ∑X1Xk ∑X2Xk... ∑X<br />
⎟ ⎜B⎟ ⎜ k ⎟ ⎝ k ⎠ ⎜ XY⎟<br />
k<br />
⎝<br />
⎠ ⎝∑⎠ En forma reducida: ( )<br />
Cuya solución es: ( ) 1 −<br />
X'Xβ = XY '<br />
ecuación (7)<br />
Bˆ = X'XXY '<br />
ecuación (8)<br />
El procedimiento matricial para obtener el sistema de ecuaciones<br />
normales es:<br />
Y = Xβ+ E<br />
( ) ( )<br />
E = Y − Xβ ⇒ Q=E'E= Y − Xβ ' Y − Xβ<br />
Q= YY ' −β'XY ' '− Y'Xβ + β'X'Xβ = YY ' − 2Y'Xβ + β'X'Xβ ∴∂Q/ ∂ β = 0− 2XY ' + 2X'Xβ = 0<br />
ecuación (9)<br />
⇒ X'X β =X'Y<br />
Ecuaciones Normales<br />
∑<br />
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