8-Guía 1: Ejercicios de repaso
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LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
REPASO<br />
Sistema <strong>de</strong> numeración <strong>de</strong>cimal<br />
Anotemos una escala que sirve para representar lo fundamental <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong><br />
numeración <strong>de</strong>cimal.<br />
100.000.000<br />
cM<br />
Centena <strong>de</strong><br />
Millón<br />
10.000.000<br />
dM<br />
Decena <strong>de</strong><br />
Millón<br />
1.000.000<br />
uM<br />
Unidad <strong>de</strong><br />
Millón<br />
100.000<br />
Cm<br />
Centena<br />
<strong>de</strong> Mil<br />
10.000<br />
dm<br />
Decena <strong>de</strong><br />
Mil<br />
1.000<br />
um<br />
Unidad <strong>de</strong><br />
Mil<br />
100<br />
c<br />
10<br />
Centena d<br />
1<br />
Decena u<br />
Unidad<br />
Vemos que las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los distintos ór<strong>de</strong>nes se agrupan <strong>de</strong> diez en diez.<br />
Diez unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> un or<strong>de</strong>n forman una unidad <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n superior.<br />
Ejemplo: Analicemos el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s y el valor posicional <strong>de</strong>l número 7385.<br />
7 : Su or<strong>de</strong>n es unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> mil y su valor <strong>de</strong> posición 7.000<br />
3 : Su or<strong>de</strong>n es centenas y su valor <strong>de</strong> posición 300.<br />
8 : Su or<strong>de</strong>n es <strong>de</strong>cenas y su valor <strong>de</strong> posición 80.<br />
5 : Su or<strong>de</strong>n es unida<strong>de</strong>s y su valor <strong>de</strong> posición 5.<br />
O sea 7385 = 7.000 + 300 + 80 + 5.
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD<br />
Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8.<br />
Un número es divisible por 3 cuando la suma <strong>de</strong> sus dígitos es múltiplo <strong>de</strong> 3.<br />
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo<br />
<strong>de</strong> 4.<br />
Un número es divisible por 5 cuando terminan en 0 ó en 5.<br />
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.<br />
Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha, multiplicándola<br />
por 2, restando este producto <strong>de</strong> lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o<br />
múltiplo <strong>de</strong> 7.<br />
Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo<br />
<strong>de</strong> 8.<br />
Un número es divisible por 9 cuando la suma <strong>de</strong> sus dígitos es un múltiplo <strong>de</strong> 9.<br />
Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.<br />
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma <strong>de</strong> los valores absolutos <strong>de</strong><br />
sus cifras <strong>de</strong> lugar impar y la suma <strong>de</strong> los valores absolutos <strong>de</strong> sus cifras <strong>de</strong> lugar par, <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>recha a izquierda, es cero o múltiplo <strong>de</strong> 11.<br />
Un número es divisible por 13 cuando separando la primer cifra <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha,<br />
multiplicándola por 9, restando este producto <strong>de</strong> lo que queda a la izquierda y así<br />
sucesivamente, da cero o múltiplo <strong>de</strong> 13.<br />
Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha,<br />
multiplicándola por 5, restando este producto <strong>de</strong> lo que queda a la izquierda y así<br />
sucesivamente, da cero o múltiplo <strong>de</strong> 17.<br />
Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha,<br />
multiplicándola por 17, restando este producto <strong>de</strong> lo que queda a la izquierda y así<br />
sucesivamente, da cero o múltiplo <strong>de</strong>19.<br />
Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo<br />
<strong>de</strong> 25.<br />
Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo<br />
<strong>de</strong> 125.
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
Números primos<br />
Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí<br />
mismo.<br />
Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3.<br />
El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12. El 12<br />
es un número compuesto.<br />
El 2 es el único número primo que es par.<br />
La Criba <strong>de</strong> Eratóstenes<br />
La Criba <strong>de</strong> Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que<br />
por tanto sean múltiplos <strong>de</strong> algún número.<br />
Si quieres obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, sigue los<br />
pasos indicados:<br />
Tacha el número 1, ya que no se consi<strong>de</strong>ra primo ni compuesto.<br />
Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos. o sea, el 4, el 6, el 8, etc.<br />
Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus<br />
múltiplos.<br />
Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos.<br />
Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.<br />
Los números encerrados son los números primos.<br />
Los restantes correspon<strong>de</strong> a los números compuestos, con exepción <strong>de</strong>l 1.<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20<br />
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30<br />
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40<br />
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50<br />
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60<br />
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70<br />
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80<br />
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90<br />
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100<br />
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110<br />
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120<br />
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140<br />
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150<br />
FACTORES PRIMOS DE UN NÚMERO<br />
Todos los números naturales se pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>scomponer en una factorización única <strong>de</strong><br />
números primos.<br />
Ejemplo: Encontremos los factores primos <strong>de</strong> 48.<br />
Luego 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 =<br />
48 : 2<br />
24 : 2<br />
12 : 2<br />
6 : 2<br />
3 : 3<br />
También se pue<strong>de</strong> utilizar un diagrama <strong>de</strong> árbol.<br />
Utilicemos este método para obtener los factores primos <strong>de</strong> 8.<br />
Por lo tanto 8 = 2 x 2 x 2 =<br />
1<br />
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)<br />
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) <strong>de</strong> dos o más números es el menor <strong>de</strong> los<br />
múltiplos que es común a cada una <strong>de</strong> estas cantida<strong>de</strong>s. Calculemos por medio <strong>de</strong> una<br />
tabla, don<strong>de</strong> vamos dividiendo por los números primos. Cuando el número no sea<br />
divisible se conservará.<br />
Ejemplos: Determinemos el m.c.m. <strong>de</strong> 12 y 18
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
12 18 : 2<br />
6 9 : 2<br />
3 9 : 3<br />
1 3 : 3<br />
El m.c.m. entre 12 y 18 es 2 · 2 · 3 · 3 = = 36<br />
Obtengamos ahora el m.c.m entre 8, 12, y 15<br />
El m.c.m. es 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120.<br />
1<br />
8 12 15 : 2<br />
4 6 15 : 2<br />
2 3 15 : 2<br />
1 3 15 : 3<br />
1 5 : 5<br />
Otro método para obtenerlo es <strong>de</strong>terminando los múltiplos <strong>de</strong> cada número y <strong>de</strong>spués<br />
ver los que son comunes y <strong>de</strong> ellos elegir el menor.<br />
Múltiplos <strong>de</strong> 12: {12, 24, 36, 48 ...}<br />
Múltiplos <strong>de</strong> 18: {18, 36, 54, ...}<br />
El menor múltiplo común <strong>de</strong> 12 y 18 es 36.<br />
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. c. d.)<br />
El máximo común divisor (m. c. d.) <strong>de</strong> dos o más números es el número mayor que<br />
los divi<strong>de</strong>. Se calcula obteniendo los divisores <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los números y luego, <strong>de</strong> los<br />
divisores comunes, se elige el mayor <strong>de</strong> ellos.<br />
Ejemplos: Obtengamos el m.c.d entre 12 y 18<br />
Divisores <strong>de</strong> 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}<br />
Divisores <strong>de</strong> 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}<br />
El mayor divisor común <strong>de</strong> 12 y 18 es 6<br />
1
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
PRIMOS RELATIVOS<br />
Dos números naturales se llaman primos relativos si el máximo común divisor entre ellos es<br />
1.<br />
Los números 6 y 9 NO son primos relativos ya que los divisores <strong>de</strong> 6 son 1, 2, 3 y 6. Los<br />
divisores <strong>de</strong> 9 son 1, 3 y 9. Por lo tanto el máximo común divisor es 3.<br />
Los números 9 y 14 son primos relativos ya que los divisores <strong>de</strong> 9 son 1, 3 y 9, mientras que<br />
los divisores <strong>de</strong> 14 son 1, 2, 7 y 14. Por lo tanto el máximo común divisor es 1.<br />
Tablas <strong>de</strong> doble entrada<br />
¿Qué ocurre si nuestro conjunto numérico es <strong>de</strong> sólo cuatro números: {0, 1, 2, 3}?<br />
¿Cómo operaríamos con ellos al sumar y/o multiplicar?. Veamos.<br />
0.<br />
Para la suma elaboremos la siguiente tabla <strong>de</strong> doble entrada:<br />
+ 0 1 2 3<br />
0 0 1 2 3<br />
1 1 2 3 0<br />
2 2 3 0 1<br />
3 3 0 1 2<br />
Extraña, ¿verdad?, pero está correcta, aunque no te suene para nada que 2 + 2 es<br />
Para obtenerla se <strong>de</strong>be efectuar lo siguiente. sabemos que en IN 2 + 2 es 4, pero en<br />
el conjunto dado el 4 no existe, por lo que al llegar al 3, volvemos al comienzo y <strong>de</strong> ahí<br />
que el resultado sea 0.<br />
Elaboremos ahora la tabla para la multiplicación:<br />
· 0 1 2 3<br />
0 0 0 0 0<br />
1 0 1 2 3<br />
2 0 2 0 2<br />
3 0 3 2 1
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
Comprobemos en ambas tablas si se cumplen algunas propieda<strong>de</strong>s, como ser la<br />
asociatividad.<br />
verifiquemos primero si (2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3)<br />
3 + 3 = 2 + 0<br />
2 = 2, se cumple<br />
ahora con la multiplicación: (3 · 2) · 1 = 3 · (2 · 1)<br />
2 · 1 = 3 · 2<br />
2 = 2, se cumple.<br />
¿Tendrán estas tablas elemento neutro?. Investígalo.<br />
Ah, y lo más importante ¿sirve para algo lo visto?<br />
Tal vez un entendido en computación podría darte esa respuesta. Pregúntale por los<br />
sistemas binarios.<br />
Fracciones equivalentes<br />
Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor <strong>de</strong>cimal. Las<br />
fracciones equivalentes representan la misma parte <strong>de</strong> una cantidad.<br />
y<br />
Si las representamos en la recta numérica, correspon<strong>de</strong>n al mismo punto.<br />
Representemos las fracciones equivalentes<br />
Vemos que ambas fracciones representan la misma parte.<br />
Para obtener fracciones equivalentes se <strong>de</strong>be amplificar o simplificar la fracción.<br />
Por amplificar se entien<strong>de</strong> multiplicar el numerador y el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> una<br />
fracción por el mismo número.
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
Ejemplo: Amplifiquemos la fracción por 6 para obtener una fracción equivalente.<br />
Luego las fracciones y son equivalentes.<br />
Por simplificar, se entien<strong>de</strong> dividir el numerador y el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> una fracción<br />
por el mismo número.<br />
Ejemplo: Simplifiquemos la fracción por 3 para obtener una fracción equivalente.<br />
Luego las fracciones y son equivalentes.<br />
Comparar fracciones<br />
Para comparar fracciones con igual <strong>de</strong>nominador, basta con comparar los<br />
numeradores para <strong>de</strong>finir cuál es mayor o menor.<br />
Resulta mayor la que tiene mayor numerador.<br />
Resulta menor la que tiene menor numerador.<br />
Ejemplo: Comparemos . La primera es mayor ya que 5 > 2.<br />
Para comparar fracciones con diferente <strong>de</strong>nominador, se <strong>de</strong>ben buscar fracciones<br />
equivalentes con <strong>de</strong>nominador común.<br />
Ejemplo: Comparemos las fracciones y<br />
Para compararlas <strong>de</strong>bemos reducir estas fracciones a un <strong>de</strong>nominador común, a<br />
través <strong>de</strong> la amplificación.<br />
La fracción la amplificaremos por 4 y la fracción la amplificaremos por 3,<br />
obteniéndose respectivamente, y .
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
Como 9 > 8, la fracción mayor es o sea > .<br />
Fracciones a <strong>de</strong>cimales<br />
Para transformar una fracción a la forma <strong>de</strong>cimal, se divi<strong>de</strong> el númerador por el<br />
<strong>de</strong>nominador.<br />
Así si queremos convertir a <strong>de</strong>cimal tenemos que efectuar la división 1 : 8<br />
1 : 8 = 0,125 o sea un <strong>de</strong>cimal exacto<br />
Efectuemos ahora la transformación <strong>de</strong> a forma <strong>de</strong>cimal.<br />
Convirtamos a <strong>de</strong>cimal la fracción<br />
2 : 3 = 0,66666... o sea un <strong>de</strong>cimal periódico<br />
1 : 6 = 0,166666... o sea un <strong>de</strong>cimal semi periódico<br />
Multiplicación <strong>de</strong> <strong>de</strong>cimales<br />
Al multiplicar dos números <strong>de</strong>cimales, lo más conveniente es efectuarla como si<br />
fueran números enteros y luego, en el resultado, separar tantos dígitos como cifras<br />
<strong>de</strong>cimales había en total en los factores.<br />
Ejemplo:<br />
0,07365 · 0,053 lo vamos a multiplicar como si fuera 7.365 · 53 lo cual da 390.345.<br />
Ahora contamos la cantidad <strong>de</strong> cifras <strong>de</strong>cimales <strong>de</strong> los factores 0,073365 y 0,053,<br />
siendo <strong>de</strong> 5 y 3, respectivamente, o sea en total 8 cifras <strong>de</strong>cimales.<br />
Al aplicar la cantidad <strong>de</strong> cifras obtenidas al resultado 390.345, obtenemos como<br />
resultado final 0,00390345.<br />
La explicación <strong>de</strong> este procedimiento es el siguiente:<br />
0,07365 = y 0,053 =
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
Efectuemos el producto · = = 0,00390345<br />
Se <strong>de</strong>be tener especial cuidado al multiplicar cantida<strong>de</strong>s que terminan en cero ya<br />
que no nos <strong>de</strong>bemos olvidar <strong>de</strong> agregar, al resultado final, los ceros que contiene la<br />
cifra.<br />
Ejemplo 0,0582 · 7300<br />
582 · 73 = 42.486<br />
Agregamos los ceros al resultado obtenido, resultando 4.248.600.<br />
Ahora contamos la cantidad <strong>de</strong> cifra <strong>de</strong>cimales contenidas en el ejercicio, siendo 4<br />
cifras.<br />
Luego el resultado final es 424,8600; o mejor 424,86.<br />
Esto tiene la siguiente justificación:<br />
0,0582 = y 7300 = 73 · 100<br />
Luego 0,0582 · 7300 = · 73 · 100 = 582 · 73· = 42.486 · = =<br />
424,86<br />
División <strong>de</strong> <strong>de</strong>cimales<br />
Para dividir números <strong>de</strong>cimales tendremos que utilizar generalmente la amplificación<br />
Efectuemos la división 36 : 0,5<br />
Esto es lo mismo que <strong>de</strong>cir , fracción que po<strong>de</strong>mos amplificar por 10 (basados en<br />
que 0,5 tiene un solo <strong>de</strong>cimal).<br />
Resulta, entonces,<br />
Efectuamos esta sencilla división 360 : 5 . Luego el resultado final <strong>de</strong> 36 : 0,5 es 72.<br />
Si queremos comprobar que nuestro resultado está bién, <strong>de</strong>bemos multiplicar 72 ·<br />
0,5 y obtenet 36.<br />
Otro ejemplo:<br />
3764 : 0,04<br />
En este caso <strong>de</strong>bemos amplificar por 100, ya que 0,04 tiene dos <strong>de</strong>cimales.
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
Ya no es necesario transforma la expresión en fracción, para darse cuenta <strong>de</strong> que la<br />
división a efectuar es 376.400 : 4, dando como resultado 94.100.<br />
Pero, ¿cómo <strong>de</strong>bemos operar cuando ambos son <strong>de</strong>cimales?<br />
Dividamos 0,512 : 1,6.<br />
Para amplificar <strong>de</strong>bemos observar cuál <strong>de</strong> las dos cantida<strong>de</strong>s tiene mayor cantidad<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>cimales. En este caso es el 0,512 y él es el que <strong>de</strong>termina que se <strong>de</strong>be amplificar<br />
por 1.000. (3 <strong>de</strong>cimales, 3 ceros)<br />
Al amplificar resulta 512 : 1600, cuyo resultado es 0,32.<br />
Las divisiones con <strong>de</strong>cimales tiene mucha aplicación en la vida cotidiana, como en lo<br />
siguiente:<br />
Se tiene una barra <strong>de</strong> fierro <strong>de</strong> 1,5 metros <strong>de</strong> largo y <strong>de</strong> ella se quieren obtener<br />
pernos <strong>de</strong> 0,075 metros <strong>de</strong> largo. ¿Cuántos pernos salen? (Resp. 20)<br />
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL<br />
Es el conjunto <strong>de</strong> medidas que se <strong>de</strong>rivan <strong>de</strong>l metro.<br />
Es un sistema, porque es un conjunto <strong>de</strong> medidas; métrico, porque su unidad<br />
fundamental es el metro; <strong>de</strong>cimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen<br />
como las potencias <strong>de</strong> 10.<br />
Hay cinco clases <strong>de</strong> medidas: <strong>de</strong> longitud, <strong>de</strong> superficie, <strong>de</strong> volumen, <strong>de</strong><br />
capacidad y <strong>de</strong> masa (peso).<br />
1. Unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Longitud.<br />
La unidad <strong>de</strong> las medidas <strong>de</strong> longitud es el metro, que se representa por m.<br />
Los múltiplos <strong>de</strong>l metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras<br />
griegas Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil respectivamente, y los<br />
submúltipos que se forman anteponiendo las palabras griegas <strong>de</strong>ci, centi y mili,<br />
que significan décima, centésima y milésima parte respectivamente.<br />
Estas medidas aumentan y disminuyen <strong>de</strong> diez en diez.<br />
Los múltiplos y submúltiplos <strong>de</strong>l metro son:<br />
Kilómetro Km. 1.000 m.<br />
Hectómetro Hm. 100 m.<br />
Decámetro Dm. 10 m.<br />
metro m. 1 m.<br />
<strong>de</strong>címetro dm. 0,1 m.<br />
centímetro cm. 0,01 m.<br />
milímetro mm. 0,001 m
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
2. Unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Superficie.<br />
La unidad <strong>de</strong> las medidas <strong>de</strong> superficie es el metro cuadrado, que correspon<strong>de</strong> a<br />
un cuadrado que tiene <strong>de</strong> lado un metro lineal y se representa por m 2 .<br />
Estas medidas aumentan y disminuyen <strong>de</strong> cien en cien.<br />
Los múltiplos y submúltiplos <strong>de</strong>l m 2 son:<br />
Kilómetro cuadrado Km 2 1.000.000 m 2<br />
Hectómetro cuadrado Hm 2 10.000 m 2<br />
Decámetro cuadrado Dm 2 100 m 2<br />
metro cuadrado m 2 1 m 2<br />
<strong>de</strong>címetro cuadrado dm 2 0,01 m 2<br />
centímetro cuadrado cm 2 0,0001 m 2<br />
milímetro cuadrado mm 2 0,000001 m 2<br />
3. Unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Volumen.<br />
La unidad <strong>de</strong> estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene <strong>de</strong><br />
arista un metro lineal y se representa por m 3 .<br />
Estas medidas aumentan y disminuyen <strong>de</strong> mil en mil.<br />
Los múltiplos y submúltiplos <strong>de</strong>l m 3 son:<br />
Kilómetro cúbico Km 3 1.000.000.000 m 3<br />
Hectómetro cúbico Hm 3 1.000.000 m 3<br />
Decámetro cúbico Dm 3 1.000 m 3<br />
metro cúbico m 3 1 m 3<br />
<strong>de</strong>címetro cúbico dm 3 0,001 m 3<br />
centímetro cúbico cm 3 0,000001 m 3<br />
milímetro cúbico mm 3 0,00000000 m 3<br />
4. Unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Capacidad.<br />
La unidad <strong>de</strong> estas medidas es el litro.<br />
Estas medidas aumentan y disminuyen <strong>de</strong> diez en diez.<br />
Los múltiplos y submúltiplos <strong>de</strong>l litro son:<br />
5. Unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Peso.<br />
Kilólitro Kl. 1.000 l.<br />
Hectólitro Hl. 100 l.<br />
Decálitro Dl. 10 l.<br />
litro l. 1 l.<br />
<strong>de</strong>cílitro dl. 0,1 l.<br />
centílitro cl. 0,01 l.<br />
milílitro ml. 0,001 l.<br />
La unidad <strong>de</strong> estas medidas es el gramo.
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
Las medidas <strong>de</strong> peso aumentan y disminuyen <strong>de</strong> diez en diez.<br />
Los múltiplos y submúltiplos <strong>de</strong>l gramo son:<br />
Kilógramo Kg. 1.000 g.<br />
Hectógramo Hg. 100 g.<br />
Decágramo Dg. 10 g.<br />
gramo g. 1 g.<br />
<strong>de</strong>cígramo dg. 0,1 g.<br />
centígramo cg. 0,01 g.<br />
milígramo mg. 0,001 g.
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
POTENCIAS:<br />
Recuerda:<br />
- Los elementos que intervienen son la Base y el Exponente<br />
o El exponente indica la cantidad <strong>de</strong> veces que se<br />
multiplica la base<br />
o Ej. a b = a*a*a*a*………. b veces<br />
PROIEDADES<br />
Potencias <strong>de</strong> exponente 0<br />
a 0 = 1 5 0 = 1<br />
Potencias <strong>de</strong> exponente 1<br />
a 1 = a 5 1 = 5<br />
Potencias <strong>de</strong> exponente entero negativo<br />
Multiplicación <strong>de</strong> potencias con la misma base<br />
Se conserva la base y se SUMAN los exponentes<br />
a m · a n = a m+n<br />
2 5 · 2 2 = 2 5+2 = 2 7<br />
División <strong>de</strong> potencias con la misma base<br />
Se conserva la base y se RESTAN los exponentes.<br />
a m : a n m - n<br />
= a<br />
2 5 : 2 2 = 2 5 - 2 = 2 3<br />
Potencia <strong>de</strong> un potencia<br />
Se conserva la base y se Multiplican los exponentes<br />
(a m ) n m · n<br />
=a<br />
(2 5 ) 3 = 2 15
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
Multiplicación <strong>de</strong> potencias con el mismo exponente<br />
Se multiplican las bases y se conserva el exponente<br />
a n · b n = (a · b) n<br />
2 3 · 4 3 = 8 3<br />
División <strong>de</strong> potencias con el mismo exponente<br />
Se divi<strong>de</strong>n las bases y se conserva el exponente.<br />
a n : b n = (a : b) n<br />
6 3 : 3 3 = 2 3
LICEO MARTA DONOSO ESPEJO<br />
GEOMETRIA<br />
CONTENIDOS SOBRE ÁNGULOS<br />
- Definición <strong>de</strong> un ángulo: en geometría, se <strong>de</strong>fine como el conjunto <strong>de</strong><br />
puntos <strong>de</strong>terminados por dos semirrectas, que tienen el mismo punto <strong>de</strong><br />
partida. También se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir a un ángulo como dos segmentos finitos<br />
con un punto extremo común.<br />
B<br />
- Modo <strong>de</strong> nombrar un ángulo:<br />
Un ángulo se <strong>de</strong>signa en cualquiera <strong>de</strong> las siguientes formas:<br />
o Con la sola letra <strong>de</strong>l vértice si hay únicamente un ángulo que tenga tal<br />
vértice. Por ejemplo B<br />
B<br />
A<br />
C<br />
o Con una letra minúscula o un número que se coloca los lados <strong>de</strong>l<br />
ángulo en las cercanías <strong>de</strong>l vértice; por ejemplo, a o < 1<br />
a 1<br />
o Por medio <strong>de</strong> 3 letras mayúsculas, las cuales la <strong>de</strong>l vértice se halla en<br />
el centro y se nombra entre las otras dos, que se colocan sobre lados<br />
<strong>de</strong>l ángulo.<br />
B C<br />
Vértice<br />
A<br />
B es don<strong>de</strong> esta el ángulo y<br />
siempre va al centro<br />
El ángulo <strong>de</strong> nombra asi:<br />
< A B C<br />
AB es una semirrecta<br />
BC es una semirrecta<br />
B es el punto <strong>de</strong> partida
Clases <strong>de</strong> ángulos:<br />
Ángulo agudo: es menor <strong>de</strong> 90º<br />
Ángulo recto: tiene 90º<br />
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Ángulo obtuso : es mayor que 90º pero menor <strong>de</strong> 180º.<br />
Ángulo llano o plano: mi<strong>de</strong> 180º.<br />
Ángulo cóncavo o entrante: es mayor que 180º pero menor que 360º.<br />
OTROS ASUNTOS SOBRE ÁNGULOS<br />
Ángulos iguales: son los que tienen el mismo número <strong>de</strong> grados.<br />
A<br />
B<br />
90º<br />
180º<br />
90º 90º<br />
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Mediatriz<br />
Si una recta biseca (corta) a un segmento, y a<strong>de</strong>más, es perpendicular a él<br />
se llama mediatriz. Mediatriz es, la perpendicular a un segmento en su<br />
punto medio.<br />
G<br />
GH es mediatriz porque:<br />
GH biseca (corta) al segmento EF<br />
90º 90º GH es perpendicular a EF<br />
Ángulos complementarios son los que sumados dan 90º.<br />
60º + 30º = 90º<br />
Ángulos suplementarios son los ángulos que sumados dan 180º.<br />
Igualdad <strong>de</strong> ángulos entre paralelas:<br />
140º + 40º = 180º<br />
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.<br />
1<br />
L<br />
60º<br />
2<br />
L<br />
E<br />
30º<br />
140º<br />
M<br />
40º<br />
6 5<br />
7 8<br />
H<br />
2 1<br />
3 4<br />
L<br />
F<br />
Entonces<br />
< EMG y < EMF son ángulos rectos y<br />
M es el punto medio <strong>de</strong> EF<br />
1<br />
L y<br />
2<br />
L son // paralelas<br />
L es trasversal
Tipos <strong>de</strong> ángulos formados<br />
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Ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.<br />
L<br />
1<br />
L<br />
1<br />
L<br />
1 = 5<br />
2 = 6<br />
3 = 7<br />
4 = 8<br />
Ángulos alternos entre paralelas son iguales.<br />
1 = 7<br />
2 = 8<br />
3 = 5<br />
4 = 6<br />
Ángulos alternos opuestos por el vértice son iguales.<br />
2<br />
L<br />
1<br />
L<br />
2<br />
L<br />
2<br />
L<br />
6 5<br />
7 8<br />
6 5<br />
7 8<br />
6 5<br />
7 8<br />
2 1<br />
3 4<br />
2 1<br />
3 4<br />
2 1<br />
3 4<br />
L<br />
L<br />
1 = 3<br />
2 = 4<br />
6 = 8<br />
5 = 7
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Triángulos<br />
Los triángulos son polígonos <strong>de</strong> tres lados.<br />
Las propieda<strong>de</strong>s fundamentales <strong>de</strong>l triángulo son:<br />
1) La suma <strong>de</strong> sus ángulos interiores es 180º.<br />
2) La suma <strong>de</strong> sus ángulos exteriores es 360º.<br />
3) Cada ángulo exterior es igual a la suma <strong>de</strong> los dos ángulos<br />
interiores no adyacentes.<br />
Los triángulos se clasifican:<br />
Según sus lados en:<br />
Equilateros: Tienen sus tres lados iguales.<br />
Isósceles: Tienen dos lados iguales.<br />
Escalenos: Tienen sus tres lados <strong>de</strong>siguales.<br />
Según sus ángulos en:<br />
Acutángulos: Tienen todos sus ángulos agudos.<br />
Rectángulos. Tienen un ángulo recto.<br />
Obstusángulos: Tienen un ángulo obstuso.