DINAMICA DE SUELOS – AMPLIFICACION SISMICA Prof. Ramon ...
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1.- INTRODUCCION<br />
<strong>DINAMICA</strong> <strong>DE</strong> <strong>SUELOS</strong> <strong>–</strong> <strong>AMPLIFICACION</strong> <strong>SISMICA</strong><br />
<strong>Prof</strong>. <strong>Ramon</strong> Verdugo A.<br />
Departamento de Ingeniería Civil<br />
Universidad de Chile<br />
(rverdugo@ing.uchile.cl)<br />
El tema de Dinámica de Suelos es extenso y cubre variados e importantes tópicos<br />
como: respuesta sísmica de depósitos y estructuras de tierra, estabilidad sísmica<br />
de muros de contención, licuefacción, prospección del subsuelo mediante el<br />
análisis de propagación de ondas de cuerpo y de superficie, fundaciones de<br />
máquinas y vibraciones en obras viales, entre otros. Consecuentemente, en una<br />
corta exposición sólo resulta posible concentrase en alguno de estos temas,<br />
siendo así que se ha optado por desarrollar el tema de la amplificación sísmica por<br />
su importancia en Chile y en el resto de los países americanos que miran al<br />
Pacífico.<br />
Desgraciadamente, la evidencia empírica que dejan los eventos sísmicos de gran<br />
magnitud está asociada aun con grandes pérdidas materiales y en algunos casos<br />
también con un significativo número de pérdidas humanas. Esto hace necesario<br />
que en países con probabilidad de experimentar sismos severos, los proyectos<br />
consideren obligatoriamente el aspecto sísmico, incluyendo en detalle el tema del<br />
efecto geológico-geotécnico del sitio donde se emplaza la infraestructura. A<br />
continuación se presentan los dos métodos más utilizados en la actualidad en<br />
ingeniería práctica para estimar la respuesta sísmica de depósitos de suelos.
2.- MO<strong>DE</strong>LO VISCOELASTICO<br />
Al igual que lo usualmente aplicado en el análisis dinámico de estructuras, en<br />
suelos también resulta atractivo el asumir un comportamiento viscoelástico. Se<br />
tiene entonces que bajo una solicitación de esfuerzo de corte:<br />
τ = G γ + c γ&<br />
Bajo este supuesto es posible separar una componente elástica caracterizada por<br />
el módulo de corte G:<br />
τ1 = G<br />
y otra componente de naturaleza viscosa caracterizada por el parámetro c:<br />
γ<br />
dγ<br />
τ = c γ&<br />
2 = c<br />
d t<br />
Frente a una solicitación sinusoidal se tiene la siguiente ecuación de equilibrio<br />
dinámico:<br />
τ sen ( Ω t)<br />
= Gγ<br />
+ c γ&<br />
cuya solución en régimen permanente está dada por:<br />
con,<br />
y<br />
a<br />
γ = γ sen ( Ωt<br />
− ϕ)<br />
γ<br />
a<br />
=<br />
a<br />
c Ω<br />
tg ϕ =<br />
G<br />
G<br />
τ<br />
a<br />
⎛ c Ω ⎞<br />
1 + ⎜ ⎟<br />
⎝ G ⎠<br />
2
Luego, la componente viscosa se puede expresar como:<br />
τ<br />
2<br />
= c Ωγ<br />
Reordenando esta expresión se obtiene:<br />
a<br />
cos( ) 1 ⎟ ⎛ γ ⎞<br />
Ωt<br />
− ϕ = c Ωγ<br />
− ⎜<br />
a<br />
⎝ γ a ⎠<br />
2<br />
2<br />
τ 2 γ<br />
+ =<br />
2<br />
2<br />
( c γ ) ( γ )<br />
Ω a<br />
a<br />
Resulta directo que la componente viscosa genera una elipse, la cual se ilustra en<br />
la Fig. 1.<br />
Componente elástica Componente viscosa<br />
− γ a<br />
τ<br />
1<br />
1<br />
G<br />
γ a<br />
γ<br />
− γ<br />
a<br />
1<br />
elipse<br />
τ<br />
2<br />
2<br />
c Ωγ<br />
γ a<br />
A = π ⋅ cΩ<br />
γ ⋅γ<br />
Fig. 1.- Componentes del modelo viscoelástico<br />
La pérdida o disipación de energía que desarrolla este modelo está asociada con<br />
el área de la elipse, la cual queda expresada por:<br />
A =<br />
π cΩ<br />
γ<br />
elipse<br />
2<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
γ
En un ciclo de solicitación, se define la razón de amortiguamiento, D, como la<br />
disipación total de energía normalizada por la energía elástica que se le entrega al<br />
sistema y dividida por 4π, es decir:<br />
2<br />
π c Ωγ<br />
a<br />
D =<br />
1<br />
4π<br />
( Gγ<br />
a ) γ<br />
2<br />
a<br />
cΩ<br />
=<br />
2G<br />
Lo anterior implica que al modelarse con un amortiguamiento c = constante, la<br />
disipación de energía sería directamente proporcional a la frecuencia de<br />
excitación. Esto no concuerda con lo observado en suelos que presentan ciclos de<br />
carga y descarga independientes de la frecuencia de excitación, con un<br />
amortiguamiento histerético. Esta incompatibilidad entre el modelo y el<br />
comportamiento observado, se soluciona fácilmente al utilizar un amortiguamiento<br />
c variable. Como se verá en los acápites siguientes, el parámetro de<br />
amortiguamiento c aparece en todas las expresiones de interés siempre como:<br />
c Ω<br />
G<br />
Consecuentemente, en la aplicación de este modelo viscoelástico se procede a<br />
reemplazar este término por 2D (la razón de amortiguamiento). La determinación<br />
de D a partir de ensayos resulta en una propiedad del material independiente de la<br />
frecuencia.
3.- PROPAGACION UNIDIMENSIONAL <strong>DE</strong> ONDAS <strong>DE</strong> CORTE<br />
3.1.- Ecuación de onda<br />
En la Fig. 2 se ilustra un depósito de suelos apoyado sobre un estrato rígido de<br />
roca basal. Este depósito horizontal de suelos se considera de propiedades<br />
uniformes, a través del cual se produce la propagación vertical de ondas de cortes<br />
que parten desde la roca basal.<br />
u<br />
u g<br />
γ<br />
du<br />
τ<br />
∂<br />
+ dz<br />
∂z<br />
τ<br />
τ<br />
Superficie del terreno<br />
z<br />
dz<br />
Roca basal<br />
Fig. 2.- Depósito horizontal de suelos sometido a una perturbación de corte basal<br />
Este frente de ondas de corte de propagación vertical que excita la base se<br />
considera de forma sinusoidal, de tal forma que genera una aceleración basal del<br />
tipo:<br />
u& & g = ab<br />
sen ( Ω t)<br />
H
Al formular el equilibrio dinámico de un elemento de suelos sometido a esta<br />
solicitación de corte se obtiene:<br />
∂τ<br />
∂z<br />
dz<br />
A<br />
hor<br />
= ρ<br />
A<br />
hor<br />
2<br />
∂ u<br />
dz 2<br />
∂t<br />
Donde, ρ es la densidad de masa y Ahor representa el área horizontal del elemento<br />
sobre la cual está aplicado el esfuerzo corte.<br />
Por otra parte, si se asume que el suelo puede ser modelado con un<br />
comportamiento del tipo viscoelástico, se tiene que:<br />
τ = G γ + cγ&<br />
En este caso G representa la rigidez al corte elástica (módulo de corte) y c la<br />
constante del amortiguador viscoso. Esta relación puede ser escrita como:<br />
Con lo cual se obtiene:<br />
2<br />
∂u<br />
∂ u<br />
τ = G + c<br />
∂z<br />
∂t∂z<br />
2<br />
3<br />
∂ u ∂ u<br />
G + c 2<br />
∂z<br />
∂t∂z<br />
2<br />
2<br />
∂ u<br />
= ρ 2<br />
∂t<br />
Introduciendo la variable y = u <strong>–</strong> ug , que corresponde al movimiento relativo del<br />
suelo respecto de la base, se tiene que:<br />
2<br />
3<br />
∂ y ∂ y<br />
G + c 2<br />
∂z<br />
∂t∂z<br />
2<br />
2<br />
∂ y ∂ u<br />
= ρ<br />
+ ρ 2<br />
∂t<br />
∂t<br />
2<br />
g<br />
2
Para una solicitación sinusoidal:<br />
la ecuación de onda queda:<br />
u&<br />
&<br />
g<br />
= a<br />
b<br />
e<br />
2<br />
3<br />
∂ y ∂ y<br />
iΩt<br />
+ c − ρ a e<br />
2<br />
2 b<br />
G<br />
∂z<br />
∂t∂<br />
z<br />
iΩt<br />
2<br />
∂ y<br />
= ρ 2<br />
∂t<br />
Antes de ir a la solución completa de esta ecuación, es interesante analizar la<br />
situación de vibración libre del depósito de suelos sin amortiguamiento. Para esto<br />
basta hacer ab = 0 (ug = 0 →y = u) y c = 0, con lo cual esta ecuación se transforma<br />
en:<br />
La solución de esta ecuación es del tipo:<br />
2<br />
2<br />
∂ u ∂ u<br />
G − ρ = 0<br />
2<br />
2<br />
∂z<br />
∂ t<br />
u = f ( z + vt)<br />
+ g(<br />
z − vt)<br />
Donde, v es una constante que se determina reemplazando esta solución en la<br />
ecuación anterior:<br />
2<br />
2<br />
∂ u<br />
∂ u<br />
= f " + g"<br />
y = ( f " + g"<br />
) v<br />
2<br />
2<br />
∂z<br />
∂t<br />
Con lo cual resulta que esta constante vale:<br />
2<br />
G − ρ v = 0 → v =<br />
G<br />
ρ<br />
2<br />
(*)
Al analizar la parte:<br />
u = f ( z + vt)<br />
y estudiar el tiempo y lugar donde se produce un determinado movimiento uo, es<br />
posible deducir que:<br />
u o<br />
= f ( z + vt)<br />
⇒ z + vt = cte.<br />
= b<br />
Gráficamente esta condición se presenta en la Fig. 3, donde se puede concluir que<br />
el mismo corrimiento u0 se va produciendo en el tiempo en la medida que z<br />
disminuye. Esta situación se interpreta como una onda que va viajando hacia<br />
abajo a una velocidad v. Como se está analizando una onda de corte puro, la<br />
velocidad de v corresponde a la velocidad de propagación de la onda de corte, Vs.<br />
z<br />
v<br />
z = -vt + b<br />
Fig. 3.- Condición espacio-tiempo asociada a un desplazamiento u0.<br />
Luego, la velocidad de onda de corte está relacionada con las propiedades del<br />
suelo a través de la siguiente expresión:<br />
Vs =<br />
v =<br />
1<br />
G<br />
ρ<br />
t
Análogamente, al analizar la segunda componente de la solución de la ecuación<br />
de onda se obtiene que ésta representa una onda de corte viajando en sentido<br />
vertical ascendente.<br />
3.2.- Amplitud del movimiento dentro del depósito y en superficie<br />
La solución de la ecuación de onda (*) permite conocer la amplitud del movimiento<br />
dentro del depósito y en superficie. La solución matemática consta de una parte<br />
correspondiente a la vibración libre, que al existir amortiguamiento tiende a<br />
desaparecer, y otra particular asociada a la vibración forzada, que corresponde a<br />
la respuesta en régimen permanente. Esta última es la solución que se utiliza y se<br />
puede expresar como:<br />
Derivando se obtiene:<br />
3<br />
∂ y<br />
∂t∂z<br />
y = U ( z)<br />
e<br />
2<br />
∂ y 2<br />
= −Ω<br />
Ue<br />
2<br />
∂t<br />
2 2<br />
∂ y d U<br />
= e<br />
2 2<br />
∂z<br />
d z<br />
2<br />
iΩt<br />
iΩ<br />
t<br />
i Ω t<br />
2<br />
d U<br />
= iΩ<br />
2<br />
d z<br />
Reemplazando en la ecuación de onda se obtiene:<br />
2<br />
d U<br />
G 2<br />
d z<br />
e<br />
iΩt<br />
2<br />
d U<br />
+ c i Ωe<br />
2<br />
d z<br />
iΩt<br />
− ρ<br />
a<br />
e<br />
b<br />
i Ω t<br />
e<br />
iΩt<br />
= ρ Ω<br />
2<br />
U e<br />
iΩt
Reordenando se llega a:<br />
2<br />
d U<br />
2<br />
( G + i Ωc)<br />
+ ρ Ω U = ρ<br />
2<br />
d z<br />
La solución de la homogénea corresponde a:<br />
Rescribiendo,<br />
Sea,<br />
Entonces,<br />
2<br />
d U 2<br />
( G + i Ωc)<br />
+ ρ Ω U = 0<br />
2<br />
d z<br />
2<br />
d U ρ<br />
d z<br />
Luego, la solución homogénea es:<br />
U<br />
2<br />
p<br />
2<br />
Ω<br />
+ U = 0<br />
G + i Ω c<br />
2<br />
2<br />
d U<br />
2<br />
d z<br />
h<br />
=<br />
2<br />
ρ Ω<br />
=<br />
G + iΩ<br />
c<br />
2<br />
+ p U<br />
Ee<br />
ipz<br />
= 0<br />
+ F e<br />
−ipz<br />
ab
Esta solución puede ser reescrita como:<br />
U h<br />
= B1<br />
cos( pz)<br />
+ B2sen(<br />
pz)<br />
Donde B1 y B2 son constantes. Por otra parte, la solución particular de esta<br />
ecuación diferencial ordinaria es:<br />
U<br />
p<br />
a<br />
= b<br />
2<br />
Ω<br />
Luego, la solución completa de esta ecuación es:<br />
Condiciones de borde:<br />
- A nivel de roca basal:<br />
u g<br />
ab<br />
U = B1<br />
cos( pz)<br />
+ B2sen(<br />
pz)<br />
+ 2<br />
Ω<br />
( z = 0)<br />
= u ⇒ y = 0 ⇒ U(<br />
0)<br />
= 0<br />
- A nivel de superficie del terreno:<br />
con lo cual resulta que:<br />
Con esto queda que:<br />
⎛ ∂u<br />
⎞<br />
⎛ ∂y<br />
⎞<br />
τ ( z = H)<br />
= 0 ⇒ γ ( z = H ) = 0 ⇒ ⎜ ⎟ = 0 ⇒ ⎜ ⎟ = 0<br />
⎝ ∂z<br />
⎠<br />
⎝ ∂z<br />
⎠<br />
B<br />
a<br />
U<br />
= −<br />
Ω<br />
1<br />
b<br />
2<br />
a<br />
= −<br />
Ω<br />
b<br />
2<br />
B<br />
a<br />
cos( pz)<br />
−<br />
Ω<br />
2<br />
b<br />
2<br />
c<br />
= −<br />
Ω<br />
2<br />
tan( pH)<br />
a<br />
tan( pH ) sen(<br />
pz)<br />
+<br />
Ω<br />
z=<br />
H<br />
z=<br />
H<br />
b<br />
2
Recordando que u = y + ug , el movimiento absoluto resulta:<br />
a<br />
u = −<br />
)<br />
Ω<br />
iΩ<br />
t<br />
[ cos( pz)<br />
+ tan( pH ) sen(<br />
pz ]<br />
b e<br />
2<br />
Por lo tanto, la aceleración absoluta queda expresa por:<br />
b<br />
iΩt<br />
[ cos( pz)<br />
+ tan( pH ) sen ( pz ] e<br />
u&<br />
& = a<br />
)<br />
Luego, la aceleración absoluta en superficie resulta:<br />
a<br />
u&<br />
& ( z = H ) = u&<br />
& sup =<br />
cos( pH)<br />
b i Ωt<br />
e<br />
3.3.- Amplificación roca basal <strong>–</strong> superficie del depósito de suelos<br />
Resulta importante establecer la amplificación o eventual atenuación que pueda<br />
generarse a través del depósito de suelos. Una manera directa es definiendo el<br />
factor de amplificación A1, como la razón entre la amplitud de la aceleración en<br />
superficie y la amplitud de la aceleración a nivel de roca basal, como se ilustra en<br />
la Fig. 4.<br />
u& & sup<br />
erficie<br />
u& & = u&<br />
&<br />
base<br />
g<br />
Superficie del terreno<br />
Roca basal<br />
Fig. 4.- Amplitud de aceleración a nivel de roca basal y en superficie<br />
H
La definición de esta razón es:<br />
base<br />
u<br />
u<br />
A<br />
&<br />
&<br />
&<br />
& sup<br />
1=<br />
Luego,<br />
)<br />
cos(<br />
1<br />
1<br />
pH<br />
A =<br />
Pero:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ Ω<br />
+<br />
Ω<br />
−<br />
×<br />
Ω<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
Ω<br />
+<br />
Ω<br />
=<br />
Ω<br />
+<br />
Ω<br />
=<br />
G<br />
c<br />
i<br />
G<br />
c<br />
G<br />
G<br />
i<br />
c<br />
G<br />
i<br />
c<br />
G<br />
p<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ<br />
Entonces,<br />
2<br />
1<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ Ω<br />
+<br />
Ω<br />
−<br />
Ω<br />
=<br />
⇒<br />
G<br />
c<br />
i<br />
G<br />
c<br />
G<br />
H<br />
pH<br />
ρ<br />
Sea,<br />
G<br />
c<br />
d<br />
Ω<br />
=<br />
Con lo cual,<br />
2<br />
1<br />
1<br />
d<br />
i<br />
d<br />
G<br />
H<br />
pH<br />
+<br />
−<br />
Ω<br />
=<br />
⇒<br />
ρ
Recordemos que:<br />
[ ]<br />
( ) [ ]<br />
α<br />
α<br />
α<br />
α<br />
α<br />
n<br />
i<br />
n<br />
r<br />
bi<br />
a<br />
a<br />
b<br />
b<br />
a<br />
r<br />
con<br />
isen<br />
r<br />
bi<br />
a<br />
n<br />
n<br />
sen<br />
cos<br />
tan<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+<br />
Entonces:<br />
[ ]<br />
2<br />
cos<br />
1<br />
2<br />
sen<br />
2<br />
cos<br />
1<br />
2<br />
cos<br />
2<br />
cos<br />
1<br />
2<br />
cos<br />
1<br />
1<br />
-d<br />
tan<br />
con<br />
2<br />
sen<br />
2<br />
cos<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
/<br />
1<br />
2<br />
α<br />
α<br />
α<br />
α<br />
α<br />
α<br />
α<br />
α<br />
α<br />
−<br />
=<br />
+<br />
=<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡ −<br />
+<br />
+<br />
+<br />
=<br />
=<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
+<br />
=<br />
−<br />
i<br />
d<br />
i<br />
d<br />
di<br />
Pero:<br />
⎥⎦<br />
⎤<br />
⎢⎣<br />
⎡<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
Ω<br />
=<br />
⇒<br />
⎥⎦<br />
⎤<br />
⎢⎣<br />
⎡<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
=<br />
−<br />
⇒<br />
+<br />
=<br />
⇒<br />
−<br />
=<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
cos<br />
tan<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
d<br />
i<br />
d<br />
d<br />
G<br />
H<br />
pH<br />
d<br />
i<br />
d<br />
d<br />
d<br />
i<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
i<br />
d<br />
d<br />
di<br />
d<br />
d<br />
ρ<br />
α<br />
α
Sean:<br />
Con esto queda:<br />
Pero,<br />
Además:<br />
α = ΩH<br />
β = ΩH<br />
ρ<br />
2G<br />
ρ<br />
2G<br />
1+<br />
d<br />
1+<br />
d<br />
2<br />
1+<br />
d<br />
2<br />
1+<br />
d<br />
2<br />
2<br />
+ 1<br />
−1<br />
cos pH = cos( α + β i)<br />
= cosα<br />
cos β i − senα<br />
senβ<br />
i<br />
senhxi<br />
=<br />
xi<br />
e<br />
−xi<br />
− e 1<br />
=<br />
2 2<br />
⇒ isenix<br />
= senh(<br />
−x)<br />
= −senhx<br />
→ senix<br />
= isenh(<br />
x)<br />
cosh xi =<br />
xi<br />
e<br />
−xi<br />
+ e<br />
2<br />
1<br />
=<br />
2<br />
⇒ cos xi = cosh( −x)<br />
= cosh( x)<br />
Esto permite obtener,<br />
[ cosx<br />
+ isenx<br />
− cosx<br />
+ isenx]<br />
[ cos x + isenx<br />
+ cos x − isenx]<br />
cos pH = cosα<br />
⋅ cosh β − isenα<br />
⋅senh<br />
β<br />
= isenx<br />
= cos x<br />
Con esto se obtiene la siguiente expresión del factor de amplificación:<br />
1<br />
A<br />
1(<br />
Ω)<br />
=<br />
cosα<br />
⋅ coshβ<br />
− isenα<br />
⋅senhβ
Evidentemente, para todo efecto práctico es el módulo de esta expresión lo más<br />
importante, el cual resulta:<br />
A ( Ω)<br />
=<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
cos α ⋅cosh<br />
β + sen α ⋅senh<br />
β<br />
Analizando el caso sin amortiguamiento (d = 0), se tiene que:<br />
Con lo cual resulta:<br />
A ( Ω)<br />
1<br />
α = ΩH<br />
β = 0<br />
=<br />
1<br />
cosα<br />
ρ ΩH<br />
=<br />
G Vs<br />
1<br />
=<br />
⎛ ΩH<br />
⎞<br />
cos ⎜<br />
⎟<br />
⎝ Vs ⎠<br />
Es directo que la máxima amplificación ocurre cuando cosα = 0, condición en la<br />
cual la amplificación tiende a infinito (esto es debido a la condición de nulo<br />
amortiguamiento). Esta condición se cumple cuando:<br />
⎛ ΩH<br />
⎞<br />
cos ⎜<br />
⎟ = 0<br />
⎝ Vs ⎠<br />
→<br />
ΩH<br />
Vs<br />
π 3π<br />
5π<br />
= , ,<br />
2 2 2<br />
⋅⋅<br />
⋅⋅<br />
⋅<br />
Esto indica que existen frecuencias de excitación, Ω, que maximizan la respuesta<br />
del depósito de suelos, las cuales pueden ser consideradas como frecuencias de<br />
resonancia y por tanto coincidentes con las frecuencias propias de vibrar del
depósito de suelos. Luego, las frecuencias fundamentales de vibración de un<br />
estrato de suelo son:<br />
π Vs 3π<br />
Vs 5π<br />
Vs<br />
Ω = , ,<br />
2H<br />
2H<br />
2H<br />
⋅⋅⋅<br />
⋅⋅<br />
Con lo cual los periodos fundamentales de vibración son:<br />
4H<br />
T = ,<br />
Vs<br />
4H<br />
,<br />
3Vs<br />
4H<br />
5Vs<br />
⋅⋅<br />
⋅⋅<br />
⋅<br />
En la Fig. 5 se presenta el factor de amplificación A1 en función de la frecuencia de<br />
excitación para el estrato de suelos indicado, considerando un caso no-<br />
amortiguado y otro con un nivel medio de amortiguamiento. Se observa<br />
claramente el efecto de la frecuencia y amortiguamiento en el nivel de<br />
amplificación de la respuesta en superficie.<br />
Fig. 5.- Factor de amplificación A1.
3.4.- Respuesta de depósito de suelos con n estratos<br />
Es común que los depósitos de suelos estén constituidos por una secuencia de<br />
varios estratos con propiedades diferentes. En la Fig. 6 se ilustra esta situación<br />
con un depósito de n estratos.<br />
H j<br />
1<br />
2<br />
3<br />
...<br />
j<br />
....<br />
n-1<br />
n<br />
G j, D j, ρ j, H j<br />
Basamento rocoso<br />
Superficie del terreno<br />
z 1<br />
(estrato j) zj<br />
Fig. 6.- Depósito de suelo con n estratos<br />
Para abordar este problema primero es útil expresar la solución de la ecuación de<br />
ondas como:<br />
u = y + u<br />
u =<br />
Ee<br />
g<br />
=<br />
ipz −ipz<br />
[ Ee + Fe ]<br />
+ Fe<br />
i(<br />
pz+<br />
Ωt<br />
) −i<br />
( pz −Ωt<br />
)<br />
Las condiciones de borde se establecerán considerando un sistema coordenado<br />
local en cada estrato desde su parte superior hacia abajo. Luego, en la superficie<br />
del depósito (z1 = 0) se cumple que:<br />
e<br />
iΩt
⎛ ∂u<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ∂z<br />
⎠<br />
Z = 0<br />
1<br />
∂u<br />
τ = 0 → γ = 0 → = 0<br />
∂z<br />
= 0 ⇒<br />
⇒<br />
iΩt<br />
( E ip − Fip)<br />
e = 0)<br />
E<br />
1<br />
1<br />
= F<br />
⇒ u = E<br />
1<br />
1<br />
1<br />
[ ] ) ( ) ( i pz+<br />
Ωt<br />
−i<br />
pz−Ωt<br />
e + e<br />
Con esto se tiene que en la superficie del primer estrato se cumple que:<br />
u<br />
= E1e<br />
sup 2<br />
Por otra parte, la solución de la ecuación de ondas debe cumplirse en cada<br />
estrato, por lo tanto:<br />
u<br />
j<br />
= E<br />
j<br />
e<br />
iΩt<br />
i(<br />
p jz<br />
j + Ωt<br />
) −i(<br />
p j z j − Ωt<br />
)<br />
+ Fje<br />
En el contacto entre los estrato j y (j+1), se tienen las siguientes dos condiciones<br />
de borde:<br />
De la primera condición se obtiene que:<br />
E<br />
j+<br />
1<br />
+<br />
F<br />
j+<br />
1<br />
u j (z j = H j)<br />
= u j+<br />
1 (z j+<br />
1 = 0)<br />
τ<br />
j<br />
(z<br />
= E<br />
j<br />
j<br />
= H j)<br />
= τ j+<br />
1 (z j+<br />
1 = 0)<br />
e<br />
i p<br />
j<br />
H<br />
j<br />
+ F e<br />
j<br />
−i<br />
p<br />
j<br />
H<br />
j<br />
(**)
Por otra parte, se tiene que:<br />
( )<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
z<br />
u<br />
ic<br />
G<br />
z<br />
t<br />
u<br />
c<br />
z<br />
u<br />
G<br />
∂<br />
∂<br />
Ω<br />
+<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
2<br />
τ<br />
t<br />
i<br />
j<br />
z<br />
p<br />
i<br />
j<br />
z<br />
p<br />
i<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
e<br />
ip<br />
e<br />
F<br />
e<br />
E<br />
c<br />
i<br />
G<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
Ω<br />
−<br />
−<br />
Ω<br />
+<br />
= )<br />
)(<br />
(<br />
τ<br />
Aplicando esta expresión a la segunda condición de borde se tiene que:<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
)(<br />
(<br />
)<br />
)(<br />
( +<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
Ω<br />
+<br />
=<br />
−<br />
Ω<br />
+ j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
H<br />
p<br />
i<br />
j<br />
H<br />
p<br />
i<br />
j<br />
j<br />
j<br />
p<br />
F<br />
E<br />
c<br />
i<br />
G<br />
p<br />
e<br />
F<br />
e<br />
E<br />
c<br />
i<br />
G<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
H<br />
p<br />
i<br />
j<br />
H<br />
p<br />
i<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
e<br />
F<br />
e<br />
E<br />
p<br />
p<br />
c<br />
i<br />
G<br />
c<br />
i<br />
G<br />
F<br />
E<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
Ω<br />
+<br />
Ω<br />
+<br />
=<br />
−<br />
⇒<br />
Sea:<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
Ω<br />
+<br />
Ω<br />
+<br />
=<br />
Ω<br />
+<br />
Ω<br />
+<br />
=<br />
Δ<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
G<br />
c<br />
i<br />
G<br />
G<br />
c<br />
i<br />
G<br />
p<br />
p<br />
c<br />
i<br />
G<br />
c<br />
i<br />
G<br />
ρ<br />
ρ<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
1<br />
(<br />
1<br />
1<br />
1<br />
i<br />
d<br />
i<br />
d<br />
G<br />
G<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
=<br />
Δ<br />
ρ<br />
ρ<br />
Luego, la segunda condición de borde queda:<br />
*)<br />
*<br />
(*<br />
)<br />
(<br />
1<br />
1<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
H<br />
p<br />
i<br />
j<br />
H<br />
p<br />
i<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
e<br />
F<br />
e<br />
E<br />
F<br />
E<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
Δ<br />
=<br />
−
De (**) y (***):<br />
E<br />
F<br />
j+<br />
1<br />
j+<br />
1<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
=<br />
2<br />
i p j H j<br />
−i<br />
p j H j<br />
[ E ( 1+<br />
Δ ) e + F ( 1−<br />
Δ ) e ]<br />
j<br />
j<br />
i p j H j<br />
−i<br />
p j H j<br />
[ E j(<br />
1−<br />
Δ j)<br />
e + Fj<br />
( 1+<br />
Δ j)<br />
e ]<br />
Luego, recordando que E1=F1, es posible establecer los valores de E2 y F2 en<br />
función de E1:<br />
E<br />
F<br />
2<br />
2<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
=<br />
2<br />
i p j H j<br />
−i<br />
p j H j<br />
[ ( 1+<br />
Δ ) e + ( 1−<br />
Δ ) e ]<br />
j<br />
i p j H j<br />
−i<br />
p j H j<br />
[ ( 1−<br />
Δ j ) e + ( 1+<br />
Δ j ) e ] E1<br />
Continuando con estas expresiones recursivas es posible establecer los valores<br />
de E3 y F3, en función de E1 y así sucesivamente. Se puede entonces establecer<br />
para el estrato de roca que:<br />
E<br />
F<br />
roca<br />
roca<br />
j<br />
= M E<br />
= N E<br />
Entonces es posible evaluar el factor de amplificación base rocosa <strong>–</strong> superficie del<br />
terreno:<br />
u1(<br />
z1<br />
= 0)<br />
=<br />
( z = 0)<br />
( E<br />
2E1<br />
⇒ A1<br />
=<br />
ME + NE<br />
1<br />
1<br />
2<br />
=<br />
M + N<br />
j<br />
j<br />
2E1e<br />
+ F<br />
iΩ<br />
t<br />
A1 = iΩ<br />
t<br />
uroca<br />
roca<br />
n+<br />
1 n+<br />
1)<br />
e<br />
1<br />
1<br />
E<br />
1
Análogamente, es posible establecer el factor de amplificación respecto de un<br />
afloramiento rocoso:<br />
A<br />
u1(<br />
z1<br />
= 0)<br />
( z<br />
2E1e<br />
2E<br />
i Ωt<br />
A 2=<br />
uafloramiento<br />
=<br />
afloramiento<br />
= 0)<br />
iΩ<br />
t<br />
afloramientoe<br />
⇒<br />
2<br />
1<br />
=<br />
M<br />
También resulta posible relacionar el movimiento en un estrato con el que ocurre<br />
en otro:<br />
A<br />
ij<br />
( Ω)<br />
ui<br />
=<br />
u<br />
j<br />
M<br />
=<br />
M<br />
i<br />
j<br />
+ N i<br />
+ N<br />
El factor de amplificación también puede ser visto como una función de<br />
transferencia entre los estratos i y j.<br />
3.5.- Método Lineal Equivalente<br />
En la Fig. 7 se presentan resultados típicos de la variación del módulo de corte G<br />
normalizado y la razón de amortiguamiento, D, con el nivel de deformación. Se<br />
observa que a mayor deformación, el módulo de corte disminuye y la razón de<br />
amortiguamiento aumenta. Diferentes suelos tiene diferentes curvas, pero, en<br />
general, es posible agruparlos de acuerdo a granulometrías según, arcillas, limos,<br />
arenas y gravas.<br />
En el desarrollo matemático anterior se ha considerado que G y D son constantes,<br />
pero la evidencia empírica muestra claramente la dependencia de estos<br />
j
parámetros con el nivel de distorsión angular. Consecuentemente, se ha<br />
desarrollado el método lineal equivalente, el cual básicamente consiste en asumir<br />
inicialmente valores de G y D, con los cuales se realiza el cálculo. En este cálculo<br />
se determina el nivel medio de las distorsiones angulares (usualmente 0.65γmax) y<br />
con ésta se re evalúan los parámetros G y D. De haber coincidencia con los<br />
valores adoptados se concluye el cálculo. De lo contrario se vuelve a repetir el<br />
análisis con los nuevos valores de G y D. Este proceso iterativo se realiza hasta<br />
obtener coincidencia de valores de G y D adoptados, con el nivel de distorsión<br />
angular resultante.<br />
Fig. 7.- Curvas típicas de módulo de corte y razón de amortiguamiento<br />
La convergencia de este método no está demostrada, pero su uso indica una<br />
rápida convergencia.<br />
La mayor bondad del método está en su simpleza y en su razonable poder<br />
predictivo. La mayor debilidad está en su incapacidad de predecir deformaciones<br />
remanentes.
3.6.- Predicción respuesta sísmica utilizando método lineal equivalente<br />
A continuación se presentan casos simples de respuesta sísmica utilizando el<br />
procedimiento descrito anteriormente. Los casos analizados intentan mostrar que<br />
existen situaciones no bien cubiertas por los códigos de ingeniería sísmica.<br />
En la Fig. 8 se presentan las funciones de transferencia (factor de amplificación)<br />
teóricas de dos estratos diferentes de suelo, pero de igual velocidad promedio de<br />
ondas de corte en los primeros 30 metros superiores (Vs30). Algunos códigos<br />
consideran que esta velocidad promedio es un buen indicador de la respuesta<br />
sísmica. Sin embargo, el ejemplo muestra que cuando un estrato de suelo blando<br />
está en los últimos metros superficiales, la amplificación es mucho mayor que<br />
cuando está cubierto por otro estrato más rígido. También se observa que los<br />
periodos fundamentales son muy diferentes dependiendo de la secuencia de los<br />
estratos<br />
T=4H/Vs=0.44s<br />
Fig. 8. Depósitos diferentes, pero de idéntico Vs30<br />
Otro ejemplo de interés práctico es cuando se presentan lentes de suelos finos<br />
blandos en profundidad. En la Fig. 9 se ilustra esta situación al introducir un lente<br />
de 3m de espesor en un depósito homogéneo. Se observa que el lente de suelo
lando tiene un fuerte impacto en la respuesta, modificando tanto la amplificación<br />
como los periodos fundamentales del depósito.<br />
Es posible señalar que lentes de suelos blandos debidamente confinados en<br />
profundidad actúan como aisladores naturales y de gran capacidad de disipación<br />
de energía.<br />
Fig. 9.- Efecto de lente de suelo blando en profundidad
4.- METODO <strong>DE</strong> AJUSTE <strong>DE</strong> CURVAS<br />
4.1.- Regla de Masing<br />
Otra metodología de análisis es mediante el uso de una ley constitutiva<br />
tensión-deformación que se aproxime a lo observado experimentalmente bajo cargas<br />
cíclicas, implementada con alguna técnica numérica de solución del medio continuo<br />
deformable, como por ejemplo, elementos finitos o diferencias finitas. Un método<br />
muy usado, por su simplicidad y buen ajuste, para modelar cargas cíclicas es<br />
conocido como la regla de Masing. En la Fig. 10 se muestra como se construye un<br />
loop de carga y descarga a partir de la curva tensión-deformación virgen utilizando la<br />
regla de Masing. En esta metodología basta definir la ecuación para la curva<br />
tensión-deformación virgen (carga monotónica creciente) y a partir de ésta, la<br />
respuesta cíclica queda establecida. El factor 2 que aparece en la construcción del<br />
loop, puede ser modificado y en tal caso se habla de la Regla de Masing<br />
generalizada.<br />
Fig. 10.- Regla de Masing<br />
Para modelar una carga monotónica creciente o la relación tensión-deformación<br />
virgen, entre muchos otros, existe un procedimiento de ajuste de curva que<br />
simplemente trata, mediante una ecuación sencilla, representar lo más fielmente
posible los resultados experimentales que se deseen. El defecto de este método es<br />
que las ecuaciones de ajuste carecen de todo significado físico y solo funcionan para<br />
la trayectoria de tensiones que se trata de ajustar. Las pricipales ventajas de este<br />
procedimiento son la simplicidad y los razonables resultados que se pueden lograr. A<br />
modo de ejemplo, a continuación se presentan el modelo hiperbólico de<br />
Hardin-Drenevich y el modelo de Ramberg-Osgood, que posiblemente corresponden<br />
a los más usados hoy en la práctica.<br />
4.2.- Modelo hiperbólico de Hardin-Drenevich<br />
En este modelo formulado por Hardin et al., (1972), la curva tensión-deformación<br />
virgen se define a través de una ecuación de tipo hiperbólico originalmente<br />
propuesta por Kondner et al., (1963) y expresada por:<br />
γ<br />
τ =<br />
a +b γ<br />
Donde a y b son dos parámetros que permiten ajustar los resultados experimentales.<br />
De la ecuación anterior se cumple que para γ muy grande, τ tiende a un valor igual a<br />
1/b. Físicamente, cuando γ crece, el esfuerzo de corte, τ, tiende a un valor máximo,<br />
τf, correspondiente a la falla del suelo. Consecuentemente, el parámetro b es igual a<br />
1/τf. Por otro lado, la tangente evaluada en el origen es igual a 1/a, y físicamente este<br />
valor corresponde al módulo de corte inicial o máximo, Go, implicando que el<br />
parámetro a es igual a 1/Go. Luego, la ecuación anterior puede ser re escrita como:<br />
0γ<br />
τ =<br />
G<br />
0<br />
1+<br />
G<br />
γ<br />
τ f
La resistencia al corte, τf, puede ser expresada mediante el criterio de Mohr-Coulomb<br />
y el módulo de corte inicial, Go, puede ser evaluado por mediciones de terreno y/o<br />
laboratorio y expresado en función de la presión de confinamiento.<br />
Una manera rápida de ver la bondad de este modelo es comparando los valores de<br />
G y D que se obtienen experimentalmente con los que arroja este modelo. Para esto<br />
primeramente resulta conveniente definir una deformación de referencia, γr, tal que:<br />
Luego, se obtiene que:<br />
τ<br />
= G<br />
γ<br />
f o r<br />
γ<br />
τ =<br />
γ<br />
γ<br />
G0<br />
1+<br />
Luego, es posible obtener la siguiente relación adimensional entre G/Go y γ/γr:<br />
G 1<br />
=<br />
G γ<br />
1+<br />
γ<br />
r<br />
0 a<br />
Por otra parte, cuando se utiliza la regla de Masing es fácil demostrar que la razón de<br />
amortiguamiento, D, queda definida por la siguiente expresión:<br />
γ<br />
2 ⎡ a 2 ∫0<br />
f( γ )dγ<br />
⎤<br />
D = ⎢<br />
- 1⎥<br />
π ⎣⎢<br />
f( γ a ) γ a ⎦⎥<br />
Aplicando esta ecuación al modelo hiperbólico se obtiene que:<br />
r
D = 4 1+ 1<br />
1- 1<br />
(1+ ) - 2<br />
⎡ ⎤⎡<br />
⎤<br />
⎢ ⎥⎢<br />
γ ⎥<br />
a<br />
⎢ ⎥⎢<br />
ln ⎥<br />
π ⎢ γ γ a ⎥⎢<br />
a γ r ⎥ π<br />
⎣<br />
⎢ γ γ<br />
r ⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎢<br />
r ⎦<br />
⎥<br />
Despejando el término γa/γr de la ecuación de G/Go y reemplazandolo en esta última,<br />
se obtiene la relación entre D y G/Go que representa este modelo y que está<br />
expresada por:<br />
4 1<br />
D =<br />
1- G<br />
G<br />
G<br />
1-<br />
1-<br />
G<br />
G<br />
(<br />
G<br />
1<br />
) -<br />
G<br />
G<br />
2<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
o<br />
⎢ ln ⎥<br />
π ⎢<br />
⎥ π<br />
o ⎣⎢<br />
0 0 ⎦⎥<br />
Esta relación ha sido contrastada con resultados experimentales por Ishihara (1982)<br />
y se muestra en la Fig. 11. Se observa que la relación obtenida a partir del modelo<br />
se aleja bastante de los resultados experimentales para G/Go menores a 0.2. Esto<br />
indica que para un nivel de deformación importante este modelo no trabaja muy bien.<br />
Mientras que para G/Go mayores a 0.4 la relación obtenida se ajusta muy bien a los<br />
datos experimentales.<br />
Fig. 11.- Predicción con Masing y modelo hiperbólico
4.3.- Modelo de Ramberg-Osgood<br />
En este caso la curva tensión-deformación virgen o bajo carga monotónica se<br />
aproxima por la ecuacion:<br />
γ<br />
γ<br />
y<br />
τ<br />
α<br />
τ<br />
τ<br />
= 1+<br />
y τ y<br />
⎡ ⎡ ⎤<br />
⎢ ⎢ ⎥<br />
⎣⎢<br />
⎣ ⎦<br />
Este modelo tiene tres parámetros independientes que permiten el ajuste de los<br />
datos experimentales. De esta ecuación se obtiene la siguiente expresión de G/Go<br />
para un nivel máximo de deformación, γa.<br />
G<br />
G =<br />
1<br />
o ⎡ G γ<br />
1+ α ⎢<br />
⎣G<br />
o γ<br />
Por otro lado, al utilizar la regla de Masing con este modelo se obtiene la siguiente<br />
expresión para la razón de amortiguamiento.<br />
a<br />
r<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
r-1<br />
r-1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦⎥<br />
r-1<br />
⎡ G γ a ⎤<br />
⎢<br />
2 r -1 Go<br />
γ ⎥<br />
⎣ r ⎦<br />
D = α<br />
π r +1 ⎡ G γ ⎤ a<br />
1+ α ⎢<br />
⎣G<br />
0 γ ⎥<br />
r ⎦<br />
Una verificación de este modelo con resultados de ensayos de laboratorio ha sido<br />
presentada por Ishihara (1982). Los resultados se muestran en las Fig. 12, donde se<br />
observa que, en general, este modelo proporciona resultados satisfactorios. Sin<br />
embargo, para niveles de deformación mayores a 10 -4 la razón de amortiguamiento<br />
es sobrestimada por este modelo.<br />
r-1
Fig. 12.- Predicción con Masing y modelo Ramberg-Osgood<br />
La utilización de estos modelos en problemas de respuesta sísmica de estructuras<br />
de suelo, como presas de tierra, ha mostrado un apropiado resultado y que<br />
además, a diferencia del método lineal equivalente, permite estimar deformaciones<br />
permanentes.<br />
Es importante señalar que los métodos explicados en estas breves notas son<br />
simplificados y en este sentido siempre requieren de ajustes y de buen criterio<br />
ingenieril.<br />
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