DINAMICA DE SUELOS – AMPLIFICACION SISMICA Prof. Ramon ...

1.- INTRODUCCION
DINAMICA DE SUELOS – AMPLIFICACION SISMICA
Prof. Ramon Verdugo A.
Departamento de Ingeniería Civil
Universidad de Chile
(rverdugo@ing.uchile.cl)
El tema de Dinámica de Suelos es extenso y cubre variados e importantes tópicos
como: respuesta sísmica de depósitos y estructuras de tierra, estabilidad sísmica
de muros de contención, licuefacción, prospección del subsuelo mediante el
análisis de propagación de ondas de cuerpo y de superficie, fundaciones de
máquinas y vibraciones en obras viales, entre otros. Consecuentemente, en una
corta exposición sólo resulta posible concentrase en alguno de estos temas,
siendo así que se ha optado por desarrollar el tema de la amplificación sísmica por
su importancia en Chile y en el resto de los países americanos que miran al
Pacífico.
Desgraciadamente, la evidencia empírica que dejan los eventos sísmicos de gran
magnitud está asociada aun con grandes pérdidas materiales y en algunos casos
también con un significativo número de pérdidas humanas. Esto hace necesario
que en países con probabilidad de experimentar sismos severos, los proyectos
consideren obligatoriamente el aspecto sísmico, incluyendo en detalle el tema del
efecto geológico-geotécnico del sitio donde se emplaza la infraestructura. A
continuación se presentan los dos métodos más utilizados en la actualidad en
ingeniería práctica para estimar la respuesta sísmica de depósitos de suelos.

2.- MODELO VISCOELASTICO
Al igual que lo usualmente aplicado en el análisis dinámico de estructuras, en
suelos también resulta atractivo el asumir un comportamiento viscoelástico. Se
tiene entonces que bajo una solicitación de esfuerzo de corte:
τ = G γ + c γ&
Bajo este supuesto es posible separar una componente elástica caracterizada por
el módulo de corte G:
τ1 = G
y otra componente de naturaleza viscosa caracterizada por el parámetro c:
γ
dγ
τ = c γ&
2 = c
d t
Frente a una solicitación sinusoidal se tiene la siguiente ecuación de equilibrio
dinámico:
τ sen ( Ω t)
= Gγ
+ c γ&
cuya solución en régimen permanente está dada por:
con,
y
a
γ = γ sen ( Ωt
− ϕ)
γ
a
=
a
c Ω
tg ϕ =
G
G
τ
a
⎛ c Ω ⎞
1 + ⎜ ⎟
⎝ G ⎠
2

Luego, la componente viscosa se puede expresar como:
τ
2
= c Ωγ
Reordenando esta expresión se obtiene:
a
cos( ) 1 ⎟ ⎛ γ ⎞
Ωt
− ϕ = c Ωγ
− ⎜
a
⎝ γ a ⎠
2
2
τ 2 γ
+ =
2
2
( c γ ) ( γ )
Ω a
a
Resulta directo que la componente viscosa genera una elipse, la cual se ilustra en
la Fig. 1.
Componente elástica Componente viscosa
− γ a
τ
1
1
G
γ a
γ
− γ
a
1
elipse
τ
2
2
c Ωγ
γ a
A = π ⋅ cΩ
γ ⋅γ
Fig. 1.- Componentes del modelo viscoelástico
La pérdida o disipación de energía que desarrolla este modelo está asociada con
el área de la elipse, la cual queda expresada por:
A =
π cΩ
γ
elipse
2
a
a
a
a
γ

En un ciclo de solicitación, se define la razón de amortiguamiento, D, como la
disipación total de energía normalizada por la energía elástica que se le entrega al
sistema y dividida por 4π, es decir:
2
π c Ωγ
a
D =
1
4π
( Gγ
a ) γ
2
a
cΩ
=
2G
Lo anterior implica que al modelarse con un amortiguamiento c = constante, la
disipación de energía sería directamente proporcional a la frecuencia de
excitación. Esto no concuerda con lo observado en suelos que presentan ciclos de
carga y descarga independientes de la frecuencia de excitación, con un
amortiguamiento histerético. Esta incompatibilidad entre el modelo y el
comportamiento observado, se soluciona fácilmente al utilizar un amortiguamiento
c variable. Como se verá en los acápites siguientes, el parámetro de
amortiguamiento c aparece en todas las expresiones de interés siempre como:
c Ω
G
Consecuentemente, en la aplicación de este modelo viscoelástico se procede a
reemplazar este término por 2D (la razón de amortiguamiento). La determinación
de D a partir de ensayos resulta en una propiedad del material independiente de la
frecuencia.

3.- PROPAGACION UNIDIMENSIONAL DE ONDAS DE CORTE
3.1.- Ecuación de onda
En la Fig. 2 se ilustra un depósito de suelos apoyado sobre un estrato rígido de
roca basal. Este depósito horizontal de suelos se considera de propiedades
uniformes, a través del cual se produce la propagación vertical de ondas de cortes
que parten desde la roca basal.
u
u g
γ
du
τ
∂
+ dz
∂z
τ
τ
Superficie del terreno
z
dz
Roca basal
Fig. 2.- Depósito horizontal de suelos sometido a una perturbación de corte basal
Este frente de ondas de corte de propagación vertical que excita la base se
considera de forma sinusoidal, de tal forma que genera una aceleración basal del
tipo:
u& & g = ab
sen ( Ω t)
H

Al formular el equilibrio dinámico de un elemento de suelos sometido a esta
solicitación de corte se obtiene:
∂τ
∂z
dz
A
hor
= ρ
A
hor
2
∂ u
dz 2
∂t
Donde, ρ es la densidad de masa y Ahor representa el área horizontal del elemento
sobre la cual está aplicado el esfuerzo corte.
Por otra parte, si se asume que el suelo puede ser modelado con un
comportamiento del tipo viscoelástico, se tiene que:
τ = G γ + cγ&
En este caso G representa la rigidez al corte elástica (módulo de corte) y c la
constante del amortiguador viscoso. Esta relación puede ser escrita como:
Con lo cual se obtiene:
2
∂u
∂ u
τ = G + c
∂z
∂t∂z
2
3
∂ u ∂ u
G + c 2
∂z
∂t∂z
2
2
∂ u
= ρ 2
∂t
Introduciendo la variable y = u – ug , que corresponde al movimiento relativo del
suelo respecto de la base, se tiene que:
2
3
∂ y ∂ y
G + c 2
∂z
∂t∂z
2
2
∂ y ∂ u
= ρ
+ ρ 2
∂t
∂t
2
g
2

Para una solicitación sinusoidal:
la ecuación de onda queda:
u&
&
g
= a
b
e
2
3
∂ y ∂ y
iΩt
+ c − ρ a e
2
2 b
G
∂z
∂t∂
z
iΩt
2
∂ y
= ρ 2
∂t
Antes de ir a la solución completa de esta ecuación, es interesante analizar la
situación de vibración libre del depósito de suelos sin amortiguamiento. Para esto
basta hacer ab = 0 (ug = 0 →y = u) y c = 0, con lo cual esta ecuación se transforma
en:
La solución de esta ecuación es del tipo:
2
2
∂ u ∂ u
G − ρ = 0
2
2
∂z
∂ t
u = f ( z + vt)
+ g(
z − vt)
Donde, v es una constante que se determina reemplazando esta solución en la
ecuación anterior:
2
2
∂ u
∂ u
= f " + g"
y = ( f " + g"
) v
2
2
∂z
∂t
Con lo cual resulta que esta constante vale:
2
G − ρ v = 0 → v =
G
ρ
2
(*)

Al analizar la parte:
u = f ( z + vt)
y estudiar el tiempo y lugar donde se produce un determinado movimiento uo, es
posible deducir que:
u o
= f ( z + vt)
⇒ z + vt = cte.
= b
Gráficamente esta condición se presenta en la Fig. 3, donde se puede concluir que
el mismo corrimiento u0 se va produciendo en el tiempo en la medida que z
disminuye. Esta situación se interpreta como una onda que va viajando hacia
abajo a una velocidad v. Como se está analizando una onda de corte puro, la
velocidad de v corresponde a la velocidad de propagación de la onda de corte, Vs.
z
v
z = -vt + b
Fig. 3.- Condición espacio-tiempo asociada a un desplazamiento u0.
Luego, la velocidad de onda de corte está relacionada con las propiedades del
suelo a través de la siguiente expresión:
Vs =
v =
1
G
ρ
t

Análogamente, al analizar la segunda componente de la solución de la ecuación
de onda se obtiene que ésta representa una onda de corte viajando en sentido
vertical ascendente.
3.2.- Amplitud del movimiento dentro del depósito y en superficie
La solución de la ecuación de onda (*) permite conocer la amplitud del movimiento
dentro del depósito y en superficie. La solución matemática consta de una parte
correspondiente a la vibración libre, que al existir amortiguamiento tiende a
desaparecer, y otra particular asociada a la vibración forzada, que corresponde a
la respuesta en régimen permanente. Esta última es la solución que se utiliza y se
puede expresar como:
Derivando se obtiene:
3
∂ y
∂t∂z
y = U ( z)
e
2
∂ y 2
= −Ω
Ue
2
∂t
2 2
∂ y d U
= e
2 2
∂z
d z
2
iΩt
iΩ
t
i Ω t
2
d U
= iΩ
2
d z
Reemplazando en la ecuación de onda se obtiene:
2
d U
G 2
d z
e
iΩt
2
d U
+ c i Ωe
2
d z
iΩt
− ρ
a
e
b
i Ω t
e
iΩt
= ρ Ω
2
U e
iΩt

Reordenando se llega a:
2
d U
2
( G + i Ωc)
+ ρ Ω U = ρ
2
d z
La solución de la homogénea corresponde a:
Rescribiendo,
Sea,
Entonces,
2
d U 2
( G + i Ωc)
+ ρ Ω U = 0
2
d z
2
d U ρ
d z
Luego, la solución homogénea es:
U
2
p
2
Ω
+ U = 0
G + i Ω c
2
2
d U
2
d z
h
=
2
ρ Ω
=
G + iΩ
c
2
+ p U
Ee
ipz
= 0
+ F e
−ipz
ab

Esta solución puede ser reescrita como:
U h
= B1
cos( pz)
+ B2sen(
pz)
Donde B1 y B2 son constantes. Por otra parte, la solución particular de esta
ecuación diferencial ordinaria es:
U
p
a
= b
2
Ω
Luego, la solución completa de esta ecuación es:
Condiciones de borde:
- A nivel de roca basal:
u g
ab
U = B1
cos( pz)
+ B2sen(
pz)
+ 2
Ω
( z = 0)
= u ⇒ y = 0 ⇒ U(
0)
= 0
- A nivel de superficie del terreno:
con lo cual resulta que:
Con esto queda que:
⎛ ∂u
⎞
⎛ ∂y
⎞
τ ( z = H)
= 0 ⇒ γ ( z = H ) = 0 ⇒ ⎜ ⎟ = 0 ⇒ ⎜ ⎟ = 0
⎝ ∂z
⎠
⎝ ∂z
⎠
B
a
U
= −
Ω
1
b
2
a
= −
Ω
b
2
B
a
cos( pz)
−
Ω
2
b
2
c
= −
Ω
2
tan( pH)
a
tan( pH ) sen(
pz)
+
Ω
z=
H
z=
H
b
2

Recordando que u = y + ug , el movimiento absoluto resulta:
a
u = −
)
Ω
iΩ
t
[ cos( pz)
+ tan( pH ) sen(
pz ]
b e
2
Por lo tanto, la aceleración absoluta queda expresa por:
b
iΩt
[ cos( pz)
+ tan( pH ) sen ( pz ] e
u&
& = a
)
Luego, la aceleración absoluta en superficie resulta:
a
u&
& ( z = H ) = u&
& sup =
cos( pH)
b i Ωt
e
3.3.- Amplificación roca basal – superficie del depósito de suelos
Resulta importante establecer la amplificación o eventual atenuación que pueda
generarse a través del depósito de suelos. Una manera directa es definiendo el
factor de amplificación A1, como la razón entre la amplitud de la aceleración en
superficie y la amplitud de la aceleración a nivel de roca basal, como se ilustra en
la Fig. 4.
u& & sup
erficie
u& & = u&
&
base
g
Superficie del terreno
Roca basal
Fig. 4.- Amplitud de aceleración a nivel de roca basal y en superficie
H

La definición de esta razón es:
base
u
u
A
&
&
&
& sup
1=
Luego,
)
cos(
1
1
pH
A =
Pero:
2
2
2
2
2
1
1
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω
+
Ω
−
×
Ω
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Ω
+
Ω
=
Ω
+
Ω
=
G
c
i
G
c
G
G
i
c
G
i
c
G
p
ρ
ρ
ρ
Entonces,
2
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω
+
Ω
−
Ω
=
⇒
G
c
i
G
c
G
H
pH
ρ
Sea,
G
c
d
Ω
=
Con lo cual,
2
1
1
d
i
d
G
H
pH
+
−
Ω
=
⇒
ρ

Recordemos que:
[ ]
( ) [ ]
α
α
α
α
α
n
i
n
r
bi
a
a
b
b
a
r
con
isen
r
bi
a
n
n
sen
cos
tan
cos
2
2
+
=
+
=
+
=
+
=
+
Entonces:
[ ]
2
cos
1
2
sen
2
cos
1
2
cos
2
cos
1
2
cos
1
1
-d
tan
con
2
sen
2
cos
1
1
2
2
/
1
2
α
α
α
α
α
α
α
α
α
−
=
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
+
+
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
−
i
d
i
d
di
Pero:
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
+
+
+
+
+
Ω
=
⇒
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
+
+
+
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
+
+
+
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
+
+
+
=
−
⇒
+
=
⇒
−
=
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
cos
tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
i
d
d
G
H
pH
d
i
d
d
d
i
d
d
d
d
i
d
d
di
d
d
ρ
α
α

Sean:
Con esto queda:
Pero,
Además:
α = ΩH
β = ΩH
ρ
2G
ρ
2G
1+
d
1+
d
2
1+
d
2
1+
d
2
2
+ 1
−1
cos pH = cos( α + β i)
= cosα
cos β i − senα
senβ
i
senhxi
=
xi
e
−xi
− e 1
=
2 2
⇒ isenix
= senh(
−x)
= −senhx
→ senix
= isenh(
x)
cosh xi =
xi
e
−xi
+ e
2
1
=
2
⇒ cos xi = cosh( −x)
= cosh( x)
Esto permite obtener,
[ cosx
+ isenx
− cosx
+ isenx]
[ cos x + isenx
+ cos x − isenx]
cos pH = cosα
⋅ cosh β − isenα
⋅senh
β
= isenx
= cos x
Con esto se obtiene la siguiente expresión del factor de amplificación:
1
A
1(
Ω)
=
cosα
⋅ coshβ
− isenα
⋅senhβ

Evidentemente, para todo efecto práctico es el módulo de esta expresión lo más
importante, el cual resulta:
A ( Ω)
=
1
1
2
2
2
2
cos α ⋅cosh
β + sen α ⋅senh
β
Analizando el caso sin amortiguamiento (d = 0), se tiene que:
Con lo cual resulta:
A ( Ω)
1
α = ΩH
β = 0
=
1
cosα
ρ ΩH
=
G Vs
1
=
⎛ ΩH
⎞
cos ⎜
⎟
⎝ Vs ⎠
Es directo que la máxima amplificación ocurre cuando cosα = 0, condición en la
cual la amplificación tiende a infinito (esto es debido a la condición de nulo
amortiguamiento). Esta condición se cumple cuando:
⎛ ΩH
⎞
cos ⎜
⎟ = 0
⎝ Vs ⎠
→
ΩH
Vs
π 3π
5π
= , ,
2 2 2
⋅⋅
⋅⋅
⋅
Esto indica que existen frecuencias de excitación, Ω, que maximizan la respuesta
del depósito de suelos, las cuales pueden ser consideradas como frecuencias de
resonancia y por tanto coincidentes con las frecuencias propias de vibrar del

depósito de suelos. Luego, las frecuencias fundamentales de vibración de un
estrato de suelo son:
π Vs 3π
Vs 5π
Vs
Ω = , ,
2H
2H
2H
⋅⋅⋅
⋅⋅
Con lo cual los periodos fundamentales de vibración son:
4H
T = ,
Vs
4H
,
3Vs
4H
5Vs
⋅⋅
⋅⋅
⋅
En la Fig. 5 se presenta el factor de amplificación A1 en función de la frecuencia de
excitación para el estrato de suelos indicado, considerando un caso no-
amortiguado y otro con un nivel medio de amortiguamiento. Se observa
claramente el efecto de la frecuencia y amortiguamiento en el nivel de
amplificación de la respuesta en superficie.
Fig. 5.- Factor de amplificación A1.

3.4.- Respuesta de depósito de suelos con n estratos
Es común que los depósitos de suelos estén constituidos por una secuencia de
varios estratos con propiedades diferentes. En la Fig. 6 se ilustra esta situación
con un depósito de n estratos.
H j
1
2
3
...
j
....
n-1
n
G j, D j, ρ j, H j
Basamento rocoso
Superficie del terreno
z 1
(estrato j) zj
Fig. 6.- Depósito de suelo con n estratos
Para abordar este problema primero es útil expresar la solución de la ecuación de
ondas como:
u = y + u
u =
Ee
g
=
ipz −ipz
[ Ee + Fe ]
+ Fe
i(
pz+
Ωt
) −i
( pz −Ωt
)
Las condiciones de borde se establecerán considerando un sistema coordenado
local en cada estrato desde su parte superior hacia abajo. Luego, en la superficie
del depósito (z1 = 0) se cumple que:
e
iΩt

⎛ ∂u
⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂z
⎠
Z = 0
1
∂u
τ = 0 → γ = 0 → = 0
∂z
= 0 ⇒
⇒
iΩt
( E ip − Fip)
e = 0)
E
1
1
= F
⇒ u = E
1
1
1
[ ] ) ( ) ( i pz+
Ωt
−i
pz−Ωt
e + e
Con esto se tiene que en la superficie del primer estrato se cumple que:
u
= E1e
sup 2
Por otra parte, la solución de la ecuación de ondas debe cumplirse en cada
estrato, por lo tanto:
u
j
= E
j
e
iΩt
i(
p jz
j + Ωt
) −i(
p j z j − Ωt
)
+ Fje
En el contacto entre los estrato j y (j+1), se tienen las siguientes dos condiciones
de borde:
De la primera condición se obtiene que:
E
j+
1
+
F
j+
1
u j (z j = H j)
= u j+
1 (z j+
1 = 0)
τ
j
(z
= E
j
j
= H j)
= τ j+
1 (z j+
1 = 0)
e
i p
j
H
j
+ F e
j
−i
p
j
H
j
(**)

Por otra parte, se tiene que:
( )
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
z
u
ic
G
z
t
u
c
z
u
G
∂
∂
Ω
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
2
τ
t
i
j
z
p
i
j
z
p
i
j
j
j
j
e
ip
e
F
e
E
c
i
G
j
j
j
j
Ω
−
−
Ω
+
= )
)(
(
τ
Aplicando esta expresión a la segunda condición de borde se tiene que:
1
1
1
1
1
)
)(
(
)
)(
( +
+
+
+
+
−
−
Ω
+
=
−
Ω
+ j
j
j
j
j
j
H
p
i
j
H
p
i
j
j
j
p
F
E
c
i
G
p
e
F
e
E
c
i
G
j
j
j
j
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
j
j
j
j
H
p
i
j
H
p
i
j
j
j
j
j
j
j
j
j
e
F
e
E
p
p
c
i
G
c
i
G
F
E
−
+
+
+
+
+
−
Ω
+
Ω
+
=
−
⇒
Sea:
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
Ω
+
Ω
+
=
Ω
+
Ω
+
=
Δ
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
G
c
i
G
G
c
i
G
p
p
c
i
G
c
i
G
ρ
ρ
)
1
(
)
1
(
1
1
1
i
d
i
d
G
G
j
j
j
j
j
j
j
+
+
+
+
+
=
Δ
ρ
ρ
Luego, la segunda condición de borde queda:
*)
*
(*
)
(
1
1
j
j
j
j
H
p
i
j
H
p
i
j
j
j
j
e
F
e
E
F
E
−
+
+
−
Δ
=
−

De (**) y (***):
E
F
j+
1
j+
1
1
=
2
1
=
2
i p j H j
−i
p j H j
[ E ( 1+
Δ ) e + F ( 1−
Δ ) e ]
j
j
i p j H j
−i
p j H j
[ E j(
1−
Δ j)
e + Fj
( 1+
Δ j)
e ]
Luego, recordando que E1=F1, es posible establecer los valores de E2 y F2 en
función de E1:
E
F
2
2
1
=
2
1
=
2
i p j H j
−i
p j H j
[ ( 1+
Δ ) e + ( 1−
Δ ) e ]
j
i p j H j
−i
p j H j
[ ( 1−
Δ j ) e + ( 1+
Δ j ) e ] E1
Continuando con estas expresiones recursivas es posible establecer los valores
de E3 y F3, en función de E1 y así sucesivamente. Se puede entonces establecer
para el estrato de roca que:
E
F
roca
roca
j
= M E
= N E
Entonces es posible evaluar el factor de amplificación base rocosa – superficie del
terreno:
u1(
z1
= 0)
=
( z = 0)
( E
2E1
⇒ A1
=
ME + NE
1
1
2
=
M + N
j
j
2E1e
+ F
iΩ
t
A1 = iΩ
t
uroca
roca
n+
1 n+
1)
e
1
1
E
1

Análogamente, es posible establecer el factor de amplificación respecto de un
afloramiento rocoso:
A
u1(
z1
= 0)
( z
2E1e
2E
i Ωt
A 2=
uafloramiento
=
afloramiento
= 0)
iΩ
t
afloramientoe
⇒
2
1
=
M
También resulta posible relacionar el movimiento en un estrato con el que ocurre
en otro:
A
ij
( Ω)
ui
=
u
j
M
=
M
i
j
+ N i
+ N
El factor de amplificación también puede ser visto como una función de
transferencia entre los estratos i y j.
3.5.- Método Lineal Equivalente
En la Fig. 7 se presentan resultados típicos de la variación del módulo de corte G
normalizado y la razón de amortiguamiento, D, con el nivel de deformación. Se
observa que a mayor deformación, el módulo de corte disminuye y la razón de
amortiguamiento aumenta. Diferentes suelos tiene diferentes curvas, pero, en
general, es posible agruparlos de acuerdo a granulometrías según, arcillas, limos,
arenas y gravas.
En el desarrollo matemático anterior se ha considerado que G y D son constantes,
pero la evidencia empírica muestra claramente la dependencia de estos
j

parámetros con el nivel de distorsión angular. Consecuentemente, se ha
desarrollado el método lineal equivalente, el cual básicamente consiste en asumir
inicialmente valores de G y D, con los cuales se realiza el cálculo. En este cálculo
se determina el nivel medio de las distorsiones angulares (usualmente 0.65γmax) y
con ésta se re evalúan los parámetros G y D. De haber coincidencia con los
valores adoptados se concluye el cálculo. De lo contrario se vuelve a repetir el
análisis con los nuevos valores de G y D. Este proceso iterativo se realiza hasta
obtener coincidencia de valores de G y D adoptados, con el nivel de distorsión
angular resultante.
Fig. 7.- Curvas típicas de módulo de corte y razón de amortiguamiento
La convergencia de este método no está demostrada, pero su uso indica una
rápida convergencia.
La mayor bondad del método está en su simpleza y en su razonable poder
predictivo. La mayor debilidad está en su incapacidad de predecir deformaciones
remanentes.

3.6.- Predicción respuesta sísmica utilizando método lineal equivalente
A continuación se presentan casos simples de respuesta sísmica utilizando el
procedimiento descrito anteriormente. Los casos analizados intentan mostrar que
existen situaciones no bien cubiertas por los códigos de ingeniería sísmica.
En la Fig. 8 se presentan las funciones de transferencia (factor de amplificación)
teóricas de dos estratos diferentes de suelo, pero de igual velocidad promedio de
ondas de corte en los primeros 30 metros superiores (Vs30). Algunos códigos
consideran que esta velocidad promedio es un buen indicador de la respuesta
sísmica. Sin embargo, el ejemplo muestra que cuando un estrato de suelo blando
está en los últimos metros superficiales, la amplificación es mucho mayor que
cuando está cubierto por otro estrato más rígido. También se observa que los
periodos fundamentales son muy diferentes dependiendo de la secuencia de los
estratos
T=4H/Vs=0.44s
Fig. 8. Depósitos diferentes, pero de idéntico Vs30
Otro ejemplo de interés práctico es cuando se presentan lentes de suelos finos
blandos en profundidad. En la Fig. 9 se ilustra esta situación al introducir un lente
de 3m de espesor en un depósito homogéneo. Se observa que el lente de suelo

lando tiene un fuerte impacto en la respuesta, modificando tanto la amplificación
como los periodos fundamentales del depósito.
Es posible señalar que lentes de suelos blandos debidamente confinados en
profundidad actúan como aisladores naturales y de gran capacidad de disipación
de energía.
Fig. 9.- Efecto de lente de suelo blando en profundidad

4.- METODO DE AJUSTE DE CURVAS
4.1.- Regla de Masing
Otra metodología de análisis es mediante el uso de una ley constitutiva
tensión-deformación que se aproxime a lo observado experimentalmente bajo cargas
cíclicas, implementada con alguna técnica numérica de solución del medio continuo
deformable, como por ejemplo, elementos finitos o diferencias finitas. Un método
muy usado, por su simplicidad y buen ajuste, para modelar cargas cíclicas es
conocido como la regla de Masing. En la Fig. 10 se muestra como se construye un
loop de carga y descarga a partir de la curva tensión-deformación virgen utilizando la
regla de Masing. En esta metodología basta definir la ecuación para la curva
tensión-deformación virgen (carga monotónica creciente) y a partir de ésta, la
respuesta cíclica queda establecida. El factor 2 que aparece en la construcción del
loop, puede ser modificado y en tal caso se habla de la Regla de Masing
generalizada.
Fig. 10.- Regla de Masing
Para modelar una carga monotónica creciente o la relación tensión-deformación
virgen, entre muchos otros, existe un procedimiento de ajuste de curva que
simplemente trata, mediante una ecuación sencilla, representar lo más fielmente

posible los resultados experimentales que se deseen. El defecto de este método es
que las ecuaciones de ajuste carecen de todo significado físico y solo funcionan para
la trayectoria de tensiones que se trata de ajustar. Las pricipales ventajas de este
procedimiento son la simplicidad y los razonables resultados que se pueden lograr. A
modo de ejemplo, a continuación se presentan el modelo hiperbólico de
Hardin-Drenevich y el modelo de Ramberg-Osgood, que posiblemente corresponden
a los más usados hoy en la práctica.
4.2.- Modelo hiperbólico de Hardin-Drenevich
En este modelo formulado por Hardin et al., (1972), la curva tensión-deformación
virgen se define a través de una ecuación de tipo hiperbólico originalmente
propuesta por Kondner et al., (1963) y expresada por:
γ
τ =
a +b γ
Donde a y b son dos parámetros que permiten ajustar los resultados experimentales.
De la ecuación anterior se cumple que para γ muy grande, τ tiende a un valor igual a
1/b. Físicamente, cuando γ crece, el esfuerzo de corte, τ, tiende a un valor máximo,
τf, correspondiente a la falla del suelo. Consecuentemente, el parámetro b es igual a
1/τf. Por otro lado, la tangente evaluada en el origen es igual a 1/a, y físicamente este
valor corresponde al módulo de corte inicial o máximo, Go, implicando que el
parámetro a es igual a 1/Go. Luego, la ecuación anterior puede ser re escrita como:
0γ
τ =
G
0
1+
G
γ
τ f

La resistencia al corte, τf, puede ser expresada mediante el criterio de Mohr-Coulomb
y el módulo de corte inicial, Go, puede ser evaluado por mediciones de terreno y/o
laboratorio y expresado en función de la presión de confinamiento.
Una manera rápida de ver la bondad de este modelo es comparando los valores de
G y D que se obtienen experimentalmente con los que arroja este modelo. Para esto
primeramente resulta conveniente definir una deformación de referencia, γr, tal que:
Luego, se obtiene que:
τ
= G
γ
f o r
γ
τ =
γ
γ
G0
1+
Luego, es posible obtener la siguiente relación adimensional entre G/Go y γ/γr:
G 1
=
G γ
1+
γ
r
0 a
Por otra parte, cuando se utiliza la regla de Masing es fácil demostrar que la razón de
amortiguamiento, D, queda definida por la siguiente expresión:
γ
2 ⎡ a 2 ∫0
f( γ )dγ
⎤
D = ⎢
- 1⎥
π ⎣⎢
f( γ a ) γ a ⎦⎥
Aplicando esta ecuación al modelo hiperbólico se obtiene que:
r

D = 4 1+ 1
1- 1
(1+ ) - 2
⎡ ⎤⎡
⎤
⎢ ⎥⎢
γ ⎥
a
⎢ ⎥⎢
ln ⎥
π ⎢ γ γ a ⎥⎢
a γ r ⎥ π
⎣
⎢ γ γ
r ⎦
⎥
⎣
⎢
r ⎦
⎥
Despejando el término γa/γr de la ecuación de G/Go y reemplazandolo en esta última,
se obtiene la relación entre D y G/Go que representa este modelo y que está
expresada por:
4 1
D =
1- G
G
G
1-
1-
G
G
(
G
1
) -
G
G
2
⎡
⎤
⎢
⎥
o
⎢ ln ⎥
π ⎢
⎥ π
o ⎣⎢
0 0 ⎦⎥
Esta relación ha sido contrastada con resultados experimentales por Ishihara (1982)
y se muestra en la Fig. 11. Se observa que la relación obtenida a partir del modelo
se aleja bastante de los resultados experimentales para G/Go menores a 0.2. Esto
indica que para un nivel de deformación importante este modelo no trabaja muy bien.
Mientras que para G/Go mayores a 0.4 la relación obtenida se ajusta muy bien a los
datos experimentales.
Fig. 11.- Predicción con Masing y modelo hiperbólico

4.3.- Modelo de Ramberg-Osgood
En este caso la curva tensión-deformación virgen o bajo carga monotónica se
aproxima por la ecuacion:
γ
γ
y
τ
α
τ
τ
= 1+
y τ y
⎡ ⎡ ⎤
⎢ ⎢ ⎥
⎣⎢
⎣ ⎦
Este modelo tiene tres parámetros independientes que permiten el ajuste de los
datos experimentales. De esta ecuación se obtiene la siguiente expresión de G/Go
para un nivel máximo de deformación, γa.
G
G =
1
o ⎡ G γ
1+ α ⎢
⎣G
o γ
Por otro lado, al utilizar la regla de Masing con este modelo se obtiene la siguiente
expresión para la razón de amortiguamiento.
a
r
⎤
⎥
⎦
r-1
r-1
⎤
⎥
⎦⎥
r-1
⎡ G γ a ⎤
⎢
2 r -1 Go
γ ⎥
⎣ r ⎦
D = α
π r +1 ⎡ G γ ⎤ a
1+ α ⎢
⎣G
0 γ ⎥
r ⎦
Una verificación de este modelo con resultados de ensayos de laboratorio ha sido
presentada por Ishihara (1982). Los resultados se muestran en las Fig. 12, donde se
observa que, en general, este modelo proporciona resultados satisfactorios. Sin
embargo, para niveles de deformación mayores a 10 -4 la razón de amortiguamiento
es sobrestimada por este modelo.
r-1

Fig. 12.- Predicción con Masing y modelo Ramberg-Osgood
La utilización de estos modelos en problemas de respuesta sísmica de estructuras
de suelo, como presas de tierra, ha mostrado un apropiado resultado y que
además, a diferencia del método lineal equivalente, permite estimar deformaciones
permanentes.
Es importante señalar que los métodos explicados en estas breves notas son
simplificados y en este sentido siempre requieren de ajustes y de buen criterio
ingenieril.
BIBLIOGRAFÍA
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