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46 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS RETICULARES Para obtener la deformación de la barra dos, figura (II.1.2.4), se aplican los desplazamientos d1 y d2. Al proyectar las componentes de ambos desplazamientos sobre el eje axial y perpendicular de la barra, se tiene que: Por lo tanto: δ = dY2 -dY1 ∆ = dX2 - dX1 Figura. II.1.2.4 Estudio de la barra dos. e2 = dY2 - dY1 (II.1.2.12) En la figura (II.1.2.5) se muestra que la barra tres presenta el mismo comportamiento de la barra uno, pero en función del desplazamiento del nudo dos, es decir: e3 = δ = - dX2 (II.1.2.13) Figura II.1.2.5 Estudio de las barras tres y cuatro. l En la figura (II.1.2.5) se presenta el cálculo de la deformación en la barra cuatro: e4 = - dX2 cos 45 º + dY2 sen 45 º (II.1.2.14) DESARROLLO DE HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL PARA SU USO DESDE LA INTERNET
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS RETICULARES 47 Figura II.1.2.6 Estudio de la barra cinco. De la figura (II.1.2.6) la deformación de la barra cinco vale: e5 = - dX1cos 45 º - dY1sen 45 º (II.1.2.15) A continuación se presentan matricialmente, las relaciones entre desplazamientos y deformaciones de las barras ( ecuaciones II.1.2.11 a II.1.2.15 ): Donde: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ e e e e e 1 2 3 4 {e}=[A]{d} ⎫ ⎡ − 1 ⎤ ⎪ ⎢ ⎪ − 1 1 ⎥ ⎧ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎬ = ⎢ − 1 ⎥⎨ ⎪ ⎢ ⎥ − 071 071 ⎪ ⎢ . . ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎣⎢ −071 . −071 . ⎦⎥ ⎩ dx dy dx dy ⎩ 5⎭ 2 NB*1 NB*2NN 2NN*1 {e} = vector de deformaciones. [A] = la matriz de continuidad. {d} = vector de desplazamientos. NB = número de barras. NN = número de nudos. 1 1 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ (II.1.2.16) En la ecuación (II.1.2.16), también se indican las dimensiones de los arreglos matriciales. Obtención directa de la matriz de continuidad [A]. Si estudiamos un elemento cualquiera i con una inclinación θ i , orientación AB, biarticulado como el que se muestra en la figura (II.1.2.7) y aplicamos desplazamientos en ambos extremos referidos al sistema global de referencia, se puede obtener la deformación ei proyectando los desplazamientos sobre el eje axial del elemento. DESARROLLO DE HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL PARA SU USO DESDE LA INTERNET
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ANÁLISIS MATRICIAL <strong>DE</strong> ESTRUCTURAS RETICULARES 47<br />
Figura II.1.2.6 Estudio de la barra cinco.<br />
De la figura (II.1.2.6) la deformación de la barra cinco vale:<br />
e5 = - dX1cos 45 º - dY1sen 45 º (II.1.2.15)<br />
A continuación se presentan matricialmente, las relaciones entre desplazamientos y<br />
deformaciones de las barras ( ecuaciones II.1.2.11 a II.1.2.15 ):<br />
Donde:<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
{e}=[A]{d}<br />
⎫ ⎡ − 1<br />
⎤<br />
⎪ ⎢<br />
⎪<br />
− 1 1<br />
⎥<br />
⎧<br />
⎪ ⎢<br />
⎥<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬ = ⎢<br />
− 1 ⎥⎨<br />
⎪ ⎢<br />
⎥<br />
− 071 071<br />
⎪ ⎢<br />
. . ⎪<br />
⎥⎪<br />
⎪ ⎣⎢<br />
−071 . −071<br />
.<br />
⎦⎥<br />
⎩<br />
dx<br />
dy<br />
dx<br />
dy<br />
⎩ 5⎭<br />
2<br />
NB*1 NB*2NN 2NN*1<br />
{e} = vector de deformaciones.<br />
[A] = la matriz de continuidad.<br />
{d} = vector de desplazamientos.<br />
NB = número de barras.<br />
NN = número de nudos.<br />
1<br />
1<br />
2<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
(II.1.2.16)<br />
En la ecuación (II.1.2.16), también se indican las dimensiones de los arreglos matriciales.<br />
Obtención directa de la matriz de continuidad [A].<br />
Si estudiamos un elemento cualquiera i con una inclinación θ i , orientación AB,<br />
biarticulado como el que se muestra en la figura (II.1.2.7) y aplicamos desplazamientos en<br />
ambos extremos referidos al sistema global de referencia, se puede obtener la deformación<br />
ei proyectando los desplazamientos sobre el eje axial del elemento.<br />
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