DESARROLLO DE HERRAMIENTAS - FI-UAEMex

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS RETICULARES 37
De manera similar, al generarse desplazamientos unitarios en la dirección z del extremo A
(dZA=1) y en el extremo B en las tres direcciones (dXB =1, dYB =1, dZB =1 respectivamente)
encontraremos las ecuaciones de equilibrio estático correspondientes. Al igual que en
armaduras planas, podemos expresar dichas ecuaciones en forma matricial, lo cual es
válido para cualquier barra que componga a la armadura.
[ K]
2 2
⎧ c α cα cβ cα cγ −c α −cα cβ −cα
cγ⎫
⎪
2 2
⎪
⎪ cβcα c β cβ cγ − cβ cα −c β −cβ
cγ
⎪
2 2
⎪ cγ cα cβ cγ c γ −cγ cα − cγ cβ −c
γ ⎪
= ⎨ 2 2
⎬
⎪ −c α −cα cβ −cα
cγ c α cα cβ cα cγ
⎪
⎪
2 2
−cβ cα −c β −cβ
cγ cβ cα c β cβ
cγ
⎪
⎪
2 2 ⎪
⎩⎪
−cγ cα −cγ cβ −c
γ cγ cα cγ cβ c γ ⎭⎪
EA
L
(II.1.1.8)
De esta forma se ha obtenido la matriz de rigidez de un elemento de armadura
tridimensional. Obsérvese que la matriz (II.1.1.8), es el caso general de la correspondiente
al modelo plano, dado que β es el ángulo complementario de α, se tiene que cβ = sα,
además cγ = 0, obteniendo así la ecuación (II.1.1.1).
Ahora podemos expresar la ecuación de rigideces antes vista como:
Que en forma matricial se expresa como:
⎧Fx
⎪
Fy
⎪
⎪Fz
⎨
⎪Fx
⎪Fy
⎪
⎩Fz
A
A
A
B
B
B
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬ =
⎪
⎪
⎪
⎭
EA
L
{F} = [K] {d}
2 2
⎧ c α cα cβ cα cγ −c α −cα cβ −cα
cγ⎫⎧dx
⎪
2 2
⎪ ⎪
⎪ cβ cα c β cβ cγ − cβ cα −c β −cβ
cγ
⎪
dy
⎪
2 2
⎪ cγ cα cβ cγ c γ −cγ cα − cγ cβ −c
γ ⎪ ⎪dz
⎨ 2 2
⎬ ⎨
⎪ −c α −cα cβ −cα
cγ c α cα cβ cα cγ
⎪ ⎪dx
⎪
2 2
−cβ cα −c β −cβ
cγ cβ cα c β cβ
cγ
⎪ ⎪dy
⎪
2 2 ⎪ ⎪
⎩⎪
−cγ cα −cγ cβ −c
γ cγ cα cγ cβ c γ ⎭⎪
⎩dz
(II.1.1.9)
En este caso de estructuras también es posible realizar el planteamiento de submatrices de
rigideces de acuerdo a los desplazamientos aplicados en un extremo y sus rigideces
originadas en los mismos, es decir, la ecuación (II.1.1.9) se puede expresar como:
DESARROLLO DE HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL
PARA SU USO DESDE LA INTERNET
A
A
A
B
B
B
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭