DESARROLLO DE HERRAMIENTAS - FI-UAEMex

94 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS RETICULARES
Para lo cual se tiene que cumplir que:
M1+ M2 = MA
(II.2.4.13.g)
M3 + M2 = MB (II.2.4.13.h)
Lo cual se demuestra a continuación.
MA θA + MB θB = M1 θ1 + M2 θ2 + M3 θ3 (II.2.4.14)
Sustituyendo las ecuaciones (II.2.4.13) en la ecuación (II.2.4.14), tenemos que:
(M1 + M2 )θ1 + (M2 + M3)θ3 = M1 θ1 + M2 (θ1 + θ3 ) + M3 θ3 (II.2.4.15)
Es decir, se cumple el principio de contragradiencia o trabajos recíprocos.
Volviendo a plantear el principio de la Ley de Hooke tenemos:
⎧M 1 ⎫ ⎡r
− r
AA AB
⎪ ⎪ ⎢
⎪
⎪M
⎪ ⎢ 0
2
⎨ ⎬ = ⎢
⎪M
⎪ ⎢ 0
3
⎪ ⎪ ⎢
⎪⎩
N ⎪⎭
⎢ 0
⎣
0
r
AB
0
0
0
0
r
BB
− r
AB
0
0 ⎤ ⎧θ1
⎫
⎥ ⎪ ⎪
0 ⎥ ⎪
⎪θ
⎪ 2
⎥ ⎨ ⎬
0 ⎥ ⎪θ
3 ⎪
⎥ ⎪ ⎪
r
N ⎥⎦
⎪⎩
δ ⎪⎭
(II.2.4.16)
Por facilidad, manejaremos la matriz de rigidez angular de la ecuación (II.2.4.16) como una
matriz columna, sin perder de vista que se trata de una matriz diagonal.
[ ]
k
⎡r
− r
⎢
= ⎢
⎢r
⎢
⎣
rAB
− r
rN
AA AB
BB AB
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(II.2.4.17)
Obtendremos enseguida la matriz de continuidad para una barra cualquiera de un marco
plano.
En la figura (II.2.4.6) se muestra una barra de marco plano en estudio, inclinada un ángulo
β en dirección del vector unitario û. Se presenta además el sistema de referencia en forma
global que la gobierna. En dicho elemento estudiaremos su comportamiento bajo un
desplazamiento lineal unitario positivo axial en el extremo B con objeto de conocer sus
deformaciones de acuerdo con el principio de continuidad.
De la figura (II.2.4.4):
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